交集、并集·典型例题
能力素质
例1 已知M＝{yy＝x2＋1，x∈R}，N＝{yy＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是
[ ]
A．{0，1} B．{(0，1)}
C．{1} D．以上均不对
分析 先考虑相关函数的值域．
解 ∵M＝{yy≥1}，N＝{yy≤1}，
∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．
取值范围是
[ ]
A．m＜4 B．m＞4
C．0＜m＜4 D．0≤m＜4
可得0≤m＜4．
答 选D．
例3 设集合A＝{x－5≤x＜1}，B＝{xx≤2}，则A∪B＝
[ ]
A．{x－5≤x＜1} B．{x－5≤x≤2}
C．{xx＜1} D．{xx≤2}
分析 画数轴表示
B)．
答 选D．
说明：集合运算借助数轴是常用技巧．
例4 集合A＝{(x，y)x＋y＝0}，B＝{(x，y)x－y＝2}，则A∩B＝________．
分析 A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合．
所以A∩B＝{(1，－1)}．
说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么．
∪B)；
为
[ ]
A．1 B．2
C．3 D．4
分析 根据交集、并集的定义，①是错误的推理．
答 选C．
点击思维
例6 已知全集U＝R，A＝{x－4≤x＜2}，B＝{x－1＜x
＝________．
号的值．
解 观察数轴得，A∩B＝{x－1＜x＜2}，A∩B∩(
UP)＝{x0＜x＜2}．
例7 设A＝{x∈Rf(x)＝0}，
B＝{x∈Rg(x)＝0}，
[ ]
A．C＝A∪(UR) B．C＝A∩(UB)
C．C＝A∪B D．C＝(UA)∩B
分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
＝{x∈Rf(x)＝0且g(x)≠0}
＝{x∈Rf(x)＝0}∩{x∈Rg(x)≠0}＝A∩(UB)．
答 选B．
说明：本题把分式的意义与集合相结合．
例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．
分析 一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．
另一种方法，画图1－10观察可得．
答 填15．
例9 已知全集U＝{xx取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(UB)＝{5，13，23}，(UA)∩B＝{11，19，29}，(UA)∩(UB)＝{3，7}求A，B．
分析 由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．
解 ∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}
用图形表示出A∩(UB)，(UA)∩B及(UA)∩(UB)得
U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，所以
A＝{2，5，13，17，23}，
B＝{2，11，17，19，29}．
说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．
学科渗透
例10 设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B．
分析 欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验．
解 由9∈A可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5．
当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违反互异性，故x＝3应舍去；
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，此时A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}
当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾．
故x＝5应舍去．
从而可得x＝－3，且A∪B＝{－8，－4，4，－7，9}．
说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的．
例11 设A＝{xx2＋4x＝0}，B＝{xx2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．
需要对A的子集进行分类讨论．
设0∈B，则a2－1＝0，a＝±1，当a＝－1时，B＝{0}符合题意；当a＝1时，B＝{0，－4}也符合题意．
设－4∈B，则a＝1或a＝7，当a＝7时，B＝{－4，－12}不符合题意．
＜－1．
综上所述，a的取值范围是a≤－1或a＝1．
高考巡礼
例12(1998年全国高考题)设集合M＝{x－1≤x＜2}，N＝{xx
[ ]
A．(－∞，2] B．[－1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．[－1，2]
分析 分别将集合M、N用数轴表示，可知：k≥－1时，M∩
答 选B．
例13(2000年全国高考题)如图1－12：U为全集，M、P、S是U的3个子集，则下图中的阴影部分为________．
分析 利用交集、并集、补集的意义分析．
解 阴影部分为：(M∩P)∩(US)．
说明：你能否指出M∩(P∪S)是图形上的哪一区域？