北大附中高一年级下学期数学期中考试
班级：______ 姓名：______ 成绩：_______
一、选择题：
在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡中。（每题3分，共36分）
1.求值
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
2．把曲线y=sinx向右平移
个单位，再把各点横坐标缩短到原来的
，所得的图像的函数式是（ ）
（A）
（B）
（C） 
（D）
3.函数y=Asin (ωx+φ)在同一周期内，
当
时，有最大值
，
当
时，有最小值-，
则函数的解析式为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 当
时，使函数
取得最大值的x的集合是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）以上答案都不正确
5. 已知
，则
的值是（ ）
（A）
和 
（B） 
和
（C）
（D）
6.如果
成立，则a的取值范围是（ ）
（A）a=10 （B） a>1
（C）0<a<1 （D）a>2
7. 如图，是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（ ）。
（A）sin (1-x) （B）cos (1-x)
（C）sin (x-1) （D）cos (x-1)
8.已知正四棱柱
底面边长为1，侧棱长为2，E为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）0
9.正四棱台的上底面面积为2，中截面面积为4，则下底边长为（ ）
（Ａ）
（Ｂ） 
（Ｃ）
（Ｄ）
１０. 正四棱台的两个相邻侧面所成的二面角的平面角一定是（ ）
（Ａ）锐角 （Ｂ）直角
（Ｃ）钝角 （Ｄ）不能确定
11.正六棱柱底面边长为2，最长的一条对角线长为
，则它的全面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
12 . 正四面体ABCD 的棱长为a, E、F、G分别是棱AB、AC、CD的中点，截面EFG交棱BD于H，则点A到截面EFGH的距离是（ ）
（A）
（B）
（Ｃ）
（Ｄ）
二、填空题（每空３分，共１２分）
１３.一个正六棱台的斜高为
，两底面边长差为10cm，它的全面积为
，那么它的两底面边长分别为_________。
14．若函数f(x)是周期为５的偶数，且f(2)=-3，则
的值是_________,
的值是_________.
15.函数
的定义域是_______,值域是__________。
１６. 如图所示的几何体，是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么截得的图形可能是图①②③④中的________(把可能的图的序号都填号)
三、解答题：
17.已知
，求
的值。
18.求证：
19 . 已知
，
求证:
20.平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=a，AB=2a,，M、N分别是CD、AB的中点，以MN为轴，将四边形ADMN沿MN翻折，当二面角A—MN—B为60°时，求三棱柱ABN—CDM的侧面积。
21.作出函数
的简图，并说明它是由正弦曲线y=sinx经过怎样的变化而得到的。
22.已知关于x的方程
的两根为
和
，
。
求（1）
的值；
（2）m的值；
（3）方程的两个根及此时的θ值。
23.如图，在直三棱柱
中，AC=BC=1，∠ACB=90°，
，D是
中点，过D作
，垂足为E。
（1）求证：
；
（2）平面ABC与平面
所成二面角的正切值；
（3）求点
到平面的距离。
北大附中高一年级下学期数学期中考试
参考答案
一、
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 11.B 12.D
二、
13．4，14
14．
，
。
15．
16．①、③、④
三、
17．
解∵
∴
∴原式
18．
证：左边
∴原等式成立
19．
证：由
得
两边同除以
（
，
时此题不考虑）得
，
∴
，
∴
∴
原等式成立。
20．
解：在平行四边形ABCD中，
连结BD交MN于O。
连接DN，BM，∵AB=2AD, ∴AD=AN。
又∠A=60°∴△AND为正三角形
∴DN=AD=BN, ∴BNDM为菱形。
∴BD⊥MN，折叠后，必有BO⊥MN，
DO⊥MN，∴∠DOB为二面角A-MN-B的平面角，
∴∠BOD=60°
在△ODM中∠DOM=90°，DM=a，∠DMO=60°
∴
。
∴在正三角形OBD中，
又MN⊥平面OBD，∴MN⊥BD，
而
，∴BC⊥BD，∠DBC=90°。
BC=a ∴
，
∴
。
∴
∴
21．
| x |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| π |
| 2π |
| y |
| 2 |
| -1 |
|
把曲线y=sinx上各点的横坐标压缩到原来的
，
然后把曲线向右平移
，再把各点的纵坐标扩大到原来的倍，
最后把曲线向上平移个单位，得图象
22．
解：由已知得
(1)原式
(2)∵
，
∴
即
∴ 
。
（3）当时，原方程为
即
，即
或
∴
或
∵θ∈（0，2π）
∴
或
23．（1）证：在直棱柱中，∵AC=BC，
∴
，连
，∵D是中点。
∴
，又∵平面
平面
，
∴
平面，于是DE是
在平面上的射影，
又∵，∴。
（2）∵上、下底面平行，
∴平面ABC与平面所成的二面角就是二面角
∵
底面
，
。
∴
，于是
即为所求二面角的平面角。
在
中，
。
（3）作
垂足为F，∵
平面
，∴
。
又∵，∴
平面
∴
的长，即为点到平面的距离。
在中，
，∴
，
∴点到平面的距离为
。
