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函数的性质、反函数·函数的单调性·例题

2014-5-11 0:18:43下载本试卷

函数的性质、反函数·函数的单调性·例题

 

例1-5-1 下列函数中,属于增函数的是 [  ]

 D

例1-5-2 若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则点(k,b)在直角坐标平面的  [  ]

A.上半平面                B.下半平面

C.左半平面                D.右半平面

  C 因为k<0,b∈R.

例1-5-3 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围是  [  ]

A.a≥3                    B.a≤-3

C.a≤5                    D.a=-3

  B 因抛物线开口向上,对称轴方程为x=1-a,所以1-a≥4,即a≤-3.

例1-5-4 已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)

    [  ]

A.在区间(-1,0)内是减函数

B.在区间(0,1)内是减函数

C.在区间(-2,0)内是增函数

D.在区间(0,2)内是增函数

  A g(x)=-(x2-1)2+9.画出草图可知g(x)在(-1,0)上是减函数.

+bx在(0,+∞)上是______函数(选填“增”或“减”).

  [-2,1]

已知函数的定义域是-5≤x≤1.设

u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9

可知当x∈[-5,-2]时,随x增大时,u也增大但y值减小;当x∈[-2,1]时,随x增大时,u减小,但y值增大,此时y是x的单调增函数,即

 在求函数单调区间时,应先求函数的定义域.

例1-5-7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数,且f(x)>0,那么在同

函数;y=[f(x)]2是单调______函数.

 递减;递减;递增.

例1-5-8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞,0)上是减函数;

  (1)任取x1<x2<0,则

所以      f(x1)>f(x2).

故f(x)在(-∞,0)上递减.

(2)任取0<x1<x2,则

当x2>x1>1时,f(x2)>f(x1);当1>x2>x1>0时,f(x2)<f(x1).

所以函数在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.

例1-5-9 已知f(x)=-x3-x+1(x∈R),证明y=f(x)是定义域上的减函数,且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个.

 设x1,x2∈R,且x1<x2,则

所以f(x1)>f(x2).所以y=f(x)是R上的减函数.

假设使f(x)=0成立的x的值有两个,设为x1,x2,且x1<x2,则

f(x1)=f(x2)=0

但因f(x)为R上的减数,故有f(x1)>f(x2).矛盾.所以使f(x)=0成立的x的值至多有一个.

例1-5-10 定义域为R的函数y=f(x),对任意x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),其中a为常数.又知x∈(a,+∞)时,该函数为减函数,判断当x∈(-∞,a)时,函数y=f(x)的单调状况,证明自己的结论.

 当x∈(-∞,a)时,函数是增函数.

设x1<x2<a,则2a-x1>2a-x2>a.

因为函数y=f(x)在(a,+∞)上是减函数,所以

f(2a-x1)<f(2a-x2)

注意到对任意x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),可见对于实数a-x1,也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)],即f(2a-x1)=f(x1).

同理f(2a-x2)=f(x2).

所以f(x1)<f(x2),所以函数y=f(x)在(-∞,a)上是增函数.

例1-5-11 设f(x)是定义在R+上的递增函数,且

f(xy)=f(x)+f(y)

(2)若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

(2)因为f(3)=1,f(9)=f(3)+f(3)=2,于是

由题设有