对数函数·例题解析
域．
解 (2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．
当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．
当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．
域和值域．
反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．
【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．
(1)y=lg(－x)，(2)y=log2x＋1
解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．
解 (2)先作出函数y=log2x的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2x＋1的图像如图2．8－4所示．
单调递减区间是(－∞，－1)．
单调递增区间是(－1，＋∞)．
的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为
所示．
单调减区间是(－1，2]．
单调增区间是[2，＋∞)．
解 (4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．
单调递减区间是(－∞，1)．
【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是
[ ]
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．b＞a＞d＞c D．b＞c＞a＞d
解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．故选C．
【例5】 已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．
解法一 令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：
(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．
(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．
(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．
解法二 由换底公式，化成同底的对数．
∵函数y=log3x为增函数，∴b＞a＞1．
∵函数y=log3x为增函数，∴0＜a＜b．
即a＞1＞b＞0．
顺序是：________．
说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于1分组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决．
【例7】 设0＜x＜1，a＞1，且a≠1，试比较loga(1－a)与loga(1＋x)的大小．
解法一 求差比大小．
loga(1－x)－loga(1＋x)
∴loga(1－x)＞loga(1＋x)
解法二 求商比较大小
=log(1+x)(1－x)=－log1+x(1－x)
∵(1＋x＞1，而0＜1－x＜1)
∴loga(1－x)＞loga(1＋x)
奇偶性．
解法一 已知函数的定义域为R，则－x∈R
∴f(x)是奇函数．
解法二 已知函数的定义域为R
=loga1=0
∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．
还是减函数？并证明．
(2)讨论函数y=loga(ax－1)的单调性其中a＞0，且a≠1．
(1)证明 方法一 f(x)在(0，1)上是增函数．
设任取两个值x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2．
(∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x1x2＜x2－x1x2)．
∴f(x1)＜f(x2)
故f(x)在(0，1)上是增函数．
(2)解 由对数函数性质，知ax－1＞0，即ax＞1，于是，当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a＞1时，定义域为(0，＋∞)．
当0＜a＜1时，u＝ax－1在(－∞，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，∴y=loga(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．
当a＞1时，u＝ax－1在(0，＋∞)上是增函数，而y=logau也是增函数，∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．
综上所述，函数y=loga(ax－1)在其定义域上是增函数．
【例10】 (1)设0＜a＜1，实数x、y满足logax＋3logxa－logxy=3，
减函数．
＋∞)上是减函数．
