向量与三角综合题选
1．将函数y=f(x)·cosx的图象按向量a=（
，1）平移，得到函数y=2sin2x的图象那么函数
f(x)可以是 （ D ）
A．cosx B．2cosx C．sinx D．2sinx
2．已知
，
（
），且
=
（
），则
．
3．已知向量
①
;
②若
解：（1）
（2）
①当
时，当县仅当
时，
取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当
时，取得最小值
，由已知得
；
③当
时，取得最小值
，由已知得
解得
，这与
相矛盾，综上所述，
为所求。
4．平面直角坐标系内有点P
（Ⅰ）求向量
的夹角
的余弦用x表示的函数；
（Ⅱ）求的最小值.
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
.
.
5．设
，
，
，
与
的夹角为
，
与的夹角为
，且
，求
的值．（本题12分）
．解：
6．已知函数
、b为常数，且
）的图象过点（
），且函数的最大值为2.
（1）求函数
的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）若函数的图象按向量
作移动距离最小的平移后，使所得的图象关于y轴对称，求出向量
的坐标及平移后的图象对应的函数解析式
解：（1）
所以函数的解析式是
的单调递增区间是
（2）∵平移后的图象对应的函数解析式是
图象关于y轴对称，即
为偶函数，
恒成立
，
故
，图象对应的函数解析式为
7．已知二次函数对任意
，都有
成立，设向量
（sinx，2），
（2sinx，
），
（cos2x，1），
（1，2），当
[0，
]时，求不等式f（
）＞f（
）的解集．
解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，
）、B（1＋x，
）因为
，，所以
，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵ 
，
，
，
，
，
，
∴ 当
时，
，
．
∵ 
， ∴ 
．
当
时，同理可得
或
．
综上：
的解集是当时，为
；
当时，为
，或
．
8．平面直角坐标系有点
（1）求向量的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x);
（2）求θ的最值.
解：（1）
（2）
9．如图：已知△OFQ的面积为
，且
，
（1）若
时，求向量
与
的夹角的取值范围；
（2）设
，
时，若以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，当
取得最小值时，求此双曲线的方程．
（1）
由已知，得
所以
，因为，所以
，则
． （2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为
，（a＞0，b＞0），Q点的坐标为（
，），则＝（
，），因为△OFQ的面积
，所以
，又由
（c，0）（，）
，所以
，
，当且仅当c＝4时，最小，此时Q的坐标为（
，），由此可得
解之得
故所求的方程为
10． 已知向量
，
，且
(1) 求
及
；
(2) 求函数
＋的最大值，并求使 函数 取得最大值的x的值。
解（1）
－
＝
＝
＝
＝
＝2
∵
∴ ＝－2
（2）＋＝－2
＝
＝
∵
∴－1≤≤0 ∴－1≤≤3
∴当＝－1时 
＝3，此时
（∵ ）。
11．已知向量
，
，
，
，且
与
之间有关系式：
，其中k＞0．
（1）试用k表示
；
（2）求的最小值，并求此时与的夹角
的值．
（1）因为，所以
，
，
，
，
． （2）由（1）
，当且仅当
，即
时取等号．此时，
，
，
，所以的最小值为，此时与的夹角为
12．已知向量
，
，又二次函数的开口向上，其对称轴为
，当
时，求使不等式
成立的
的范围。
．依题意有，当x≥1时，f（x）是增函数
∵
∴
∵0≤x≤π 
即为所求
13．已知=（sinA,cosA), =(cosC,sinC),若·=sin2B, ,的夹角为θ，且A、B、C为三角形ABC的内角。
求（1）∠B （2）cos
解：(1)由·=sin2B得
sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB
所以 sin(A+C)=2sinBcosB
又在△ABC中，A＋C＝π-B,sin(A+C)≠0
所以sinB=2sinBcosB
即：cosB=,所以B＝
(2)cosθ＝=＝sin(A+C)
∵在△ABC中，B＝,A+C=
∴cosθ=sin=
∴cos2===
∵0＜θ＜π，∴cos=
14． 已知平面向量
，
，若存在非零实数
和角，
，使得
，
，且
。
⑴若
时，求的值；
⑵若在
上变化时，求的极大值。
解：⑴∵
从而
＝
＝
则
而于是∴
⑵令 
，则
，求导有：
在
时，
，
或
时，
∴在
时，
取极大值，
因此的极大值为
15. 已知向量
，求
①
；
②若
的最小值是
，求实数
的值；
解：①a·b=
a+b=
，
∵
， ∴
∴ a+b=2cosx.
②
即
∵， ∴
时，当且仅当
取得最小值－1，这与已知矛盾.
时，当且仅当
取最小值
由已知得
，解得
时，当且仅当
取得最小值
由已知得
，解得，这与相矛盾.
综上所述，为所求.
16.已知在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C成等差数列，
=2
，
（1）求三角形ABC的面积；
（2）求三角形ABC的周长。