高二数学同步测试（7）—椭圆及几何性质

　 高中学生学科素质训练

 　　 高二数学同步测试（7）—椭圆及几何性质

共150分，考试用时120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将唯一正确结论的代号填入题后的括号内．

1．椭圆的准线平行于x轴，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－１＜m＜3　　　　　　　　  　　　 B．－＜m＜3且m≠0　　

　　　 C．－１＜m＜3且m≠0　　　　　  　　D．m＜－1且m≠0

2．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，过F₁作直线交椭圆于A、B

　 两点，则ΔABF₂的周长为　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．24　　　　　　　　　　　B．12　　　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　　　　 D．3

3．下列命题是真命题的是　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆

　　　 B．到定直线x=和定F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆

C．到定点F(－c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆

　　　 D．到定直线x=和定点F(c，0)的距离之比为 (a>c>0)的点的轨迹是椭圆

4．椭圆上一点P到右准线的距离是2b，则该点到椭圆左焦点的距离是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．b　　　　　　　　　　 B．b　　　　　　　　　 C．b　　　　　　　　 D．2b

5．椭圆的焦点为F₁和F₂，点P在椭圆上，如果线段F₁P的中点在y轴上，那

　 么PF₁是PF₂的　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．7倍 　　　　　　　　　 B．5倍　 　　　　　　　C．4倍　 　　　　　　　 D．3倍

6．椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被点（，0）分成

 5：3两段，则此椭圆的离心率为　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ 　 ）

　　　 A．　　 　　　　　 B． 　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

7．已知圆内的一个定点作圆C与已知圆相切，则圆C的圆心轨迹是　　　　　　　　　　　（ 　 ）

　　　 A．圆　　　　　　　　　　　B．椭圆　　　　　　　　　C．圆或椭圆　　　　　　D．线段

8．椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点　

　 为P，则=　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．4

9．已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若

　 △ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　 　　　　　　C．　 　　　　　　 D．

10．在椭圆+=1内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使MP+2MF的值最小，则这一最小值是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　 　　　B．　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　D．4

11．l为定直线，F为不在l上的定点，以F为焦点，l为准线的椭圆可画　　　　　　　　（ 　 ）

　　　 A．1个　　　　　　　　　　B． 2个　　　 　　　C．1个或2个　 　　　D．无穷多个

12．椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交

点为P，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　  ）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最简结果填入题中的横线上．

13．如图，∠OFB＝，S_ΔABF＝，则以OA为长半轴，OB为短半轴，Ｆ为一个焦点

的椭圆的标准方程为　　　　．

14．过椭圆的左焦点作一条长为的弦AB，将椭圆绕其左准线旋转一周，则弦AB扫过的面积为　　　　 ．

15．把曲线按向量a=（1，2）平移后得到曲线C₂，曲线C₂有一条准线方程为x=5，则k的值为　　　　  ；离心率e为　　　　　

16．F₁，F₂是椭圆C：的焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程．

17．（本小题满分12分）已知+=1的焦点F₁、F₂，在直线l：x+y－6=0上找一点M，

求以F₁、F₂为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．　

18．（本小题满分12分）　已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对

于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称．

　

19．（本小题满分12分）设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦

点，，．

　 （1）求证离心率；

　 （2）求的值；

　 （3）求的最值。

　　

20 （本小题满分12分）　经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两

点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角．

　　

21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭

圆交于P和Q，且OP⊥OQ，PQ=，求椭圆方程.

22．（本小题满分14分）

设椭圆+=1的两焦点为F₁、F₂，长轴两端点为A₁、A₂．

　 （1）P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60⁰，求ΔF₁PF₂的面积；

　 （2）若椭圆上存在一点Q，使∠A₁QA₂=120⁰，求椭圆离心率e的取值范围．

参考答案（7）

一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	C	D	A	A	D	C	C	A	C	D	C

二、填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）

13．　　 14．18π　　15．－3, 　 16． 2

三、解答题（本大题共6题，共74分）

17．（本小题满分12分）解：由，得F₁（2，0），F₂（-2，0），F₁关于直线l的对称点F₁^/（6，4），连F₁^/F₂交l于一点，即为所求的点M，∴2a=MF₁+MF₂=F₁^/F₂=4，∴a=2，又c=2，∴b²=16，故所求椭圆方程为．

18．（本小题满分12分）分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得

。

　　又，，，代入得。

　　又由解得交点。

　　交点在椭圆内，则有

　　。

　　得。

19．（本小题满分12分）分析：（1）设，，由正弦定理得

。　　得　，

　　 。

　　（2），采用合分比定理得

　　　　　 　，　　。

　　（3）。

当时，最小值是；

当时，最大值是。

20．（本小题满分12分）分析：左焦点F(1,0)， 直线y=kx代入椭圆得，

　　，

　　。　由AF知。

将上述三式代入得，或。

21．（本小题满分12分）解：设椭圆方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)，P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)

由 得(m+n)x²+2nx+n－1=0,

Δ=4n²－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,

由OP⊥OQ,所以x₁x₂+y₁y₂=0,即2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0,

∴+1=0,∴m+n=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又2²,

将m+n=2,代入得m·n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由①、②式得m=,n=或m=,n=

故椭圆方程为+y²=1或x²+y²=1.

22．（本小题满分14分）解：（1）设PF₁=r₁，PF₂=r₂，

则S=r₁r₂sin∠F₁PF₂，由r₁+r₂=2a，　　

4c²=r₁²+r₂²－2cos∠F₁PF₂，得r₁r₂=．

代入面积公式，得S=b²=b²tan∠=b²．

（2）设∠A₁QB=α，∠A₂QB=β，点Q(x₀，y₀)(0<y₀<b)．

（好像不对）

∴2ab²≤c²y₀≤c²b， 即3c⁴+4a²c²－4a⁴≥0，∴3e⁴+4e²－4≥0，

解之得为所求．