2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（4）— 简单几何体
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个棱柱为正四棱柱的条件是 （ ）
A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
B．底面是正方形，有两个侧面是矩形
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个底面是全等的矩形
2．下列命题中正确的一个是 （ ）
A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体
C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
3．在底面边长与侧棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M为A1B1的中点，则M
到BC的距离是 （ ）
A．
a
B．
a
C．
a D．
a
4．若四棱锥的四个侧面与底面所成的角都相等，则其底面四边形必是 （ ）
A．矩形 B．菱形 C．圆外切四边形 D．圆内接四边形
5．三棱柱的底是边长为4的正三角形, 侧棱长为8，一条侧棱和底面的两边成45°
|
B．4（+1） C．16（+1） D．32（+1）
|
A B C D
7．正三棱锥S－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l, 点P在SO上且
分SO所成的比是1 ：2，则过P点且平行于底面的截面面积是 （ ）
A．
(l2－h2) B．
(l2－h2) C．
(l2－h2) D．
(l2－h2)
8．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）
A．
B．12a2 C．18a2 D．24a2
9．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部
分的体积的比是 （ ）
A．1∶2∶3 B．1∶7∶19 C．3∶4∶5 D．1∶9∶27
10．设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是
F，则它们之间的关系不正确的是 （ ）
A．nF=2E B．mV=2E C．V+F=E+2 D．mF=2E
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．
11．长方体高为ｈ，底面积为Ｑ，垂直于底面的对角面面积为Ｍ，则长方体的全面积为 ．
12．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1与CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积= ．
|
14．矩形ABCD的边长分别为a，b(a<2b)，
E是DC的中点，把矩形沿AE、BE折成
一个三棱锥的三个侧面(C、D重合)，则
最大的侧面与底面所成的二面角的正弦
值是 ．
三、解答题：本大题满分76分．
15．（12分）在棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三
|
16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ÐABC＝60°，
PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点．
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A－EB－D的正切值；
（3）求点E到平面PBC的距离．
|
且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：
（1）截面与底面所成的角；
（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
18．（12分）C70 分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。求C70分子中五边形和六边形的个数．
|
是△ABC的中心，异面直线AB与CC1所成的角为45°.
（1）求证：AA1⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1－BC—A的平面角的正弦值；
（3）求这个斜三棱柱的体积.
|
的底面
是直角梯形，已知
垂直底面，
且
，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
为侧棱
上的一点，当
为何值时，
平面
，证明你的结论；
（3）若
，求二面角
的大小．
参考答案（四）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | C | D | A | C | D | B | A | B | B | D |
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
|
12．
13．30° 14． 
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解：如图，设顶点A在平面PBC上的射影
为O，连结PO，由题知PA、PB、PC两两成60°角，
∴PO是∠BPC的平分线，在平面PBC上，过O作OE⊥PB，
连结AE，则AE⊥PB
16．(12分) (1) 证明：连结AC交BD于O，连EO ∵ O是AC中点，E是PA中点
∴ EO∥PC ∵ PC⊥平面ABCD，∴ PC⊥AO，PC⊥BO ∴ EO⊥AO，EO⊥BO
∴ EO⊥平面ABCD ∵ EO Ì 平面EDB ∴ 平面EDB⊥平面ABCD．
(2) 解：∵ 平面EDB⊥平面ABCD，交线为BD，又AO⊥BD ∴ AO⊥平面EDB
过O作OM⊥BE于M，连AM，则AM⊥BE∴ ÐAMO为二面角A－BE－D的平面角
在Rt△EOB中，OB＝，EO＝PC＝
∴ EB＝1 ∵ BE×OM＝OE×OB
∴ OM＝＝ ∵ 在Rt△AOM中，OA＝
∴ tan ÐAMO＝ ＝ ．
(3) 解：∵ EO∥PC，PC Ì平面PBC，∴ EO∥平面PBC ∴ E到平面PBC的距离就是O到平面PBC的距离
∵ 平面PBC⊥平面ABCD交线为BC，过O作OF⊥BC于F
∴ OF⊥平面PBC，OF即为所求
∵ 菱形ABCD中，ÐABC＝60°
∴ OF＝OB·sin ÐOBF＝×＝
即点E到平面PBC的距离为 ．
17．(12分) 解（1）延长ED交CB延长线于F，
为截面与底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.
（2）设AB=a，则
，
. 
18．(12分) 解：设有x个五边形和有y个六边形，则F=x+y,V=70,E=
答：略。
19．（14分）由已知可得A1-ABC为正三棱锥，∠A1AB=45°
∴∠AA1B=∠AA1C=90°即AA1⊥A1B,AA1⊥A1C
∴AA1⊥平面A1BC
（1）连AO并延长交BC于D,则AD⊥BC，连A1D,
则∠ADA1为所求的角.由已知可得 AD＝Absin60°＝,
AA1=Absin45°=,∴sin∠ADA1=
（2）在Rt△AA1D中，A1D=∴A1O=
∴V柱＝S△ABC·A1O=·4·sin60°·.
20．(14分) 证明：（１）
平面ABCD，
.又
，
故
平面SCD，
平面SBC，故平面SBC
平面SCD.
（2）
时，AE//平面SCD.
法一：取SB的中点E，BC的中点F，连结AF，则AF//CD，EF//SC.
故EF//平面SCD，AF//平面SCD；平面AEF//平面SCD.
而AE
平面AEF，
AE//平面SCD
法二：取SB、SC的中点分别为E、G，连结EG、DG.则GE//BC，GE=
BC，
又AD//BC，AD=BC，故AD//GE且AD=GE.
于是四边形AEGD为平行四边形。故AE//DG，又DG平面SCD，
故AE//平面SCD.
（3）作COBD于O，又SD平面BCD，故SDCO，
从而CO平面SBD ，作CHSB于H，
连结OH，则OH为CH在平面SBD上的射影，
故OHSB，
CHO为二面角C－ＳＢ－Ｄ的平面角.
设AD=a，则BC=CD=2a 于是SA=AB=
a ，
|
=2a 则 CO=a
则CH=
而sinCHO
故CHO
二面角C－SB－D为
另解：……三角形SBO是三角形SBC在平面SBD上的射影.
设二面角C－SB－D的平面角为
则cos=
,故=