高二数学下学期同步测试（5）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2004－2005学年度下学期

高中学生学科素质训练

高二数学同步测试（5）— 球

YCY

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；

　 ② 过球面上两点只能作一个球大圆；　 ③ 过空间四点总能作一个球；

　 ④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有　　（　　）

　　　 A．0个　　　　　　　　　　B．1个 　　　　　　　　　C．2个　　　　　　　　　　D．3个

2．若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．3倍　　　　　　　　　　B．27倍　　　　　　　　　C．3倍　　　　　　　 D．倍

3．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4Л，那么这个球的半径为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．4 　　　　　　　　B．2　　  　　　　C．2　　 　　　　　　　 D．

4．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球

　 的表面积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．20π　　　　　　 B．25π　　　　　　 C．50π　　　　　　　　　 D．200π

5．在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，

　 该直线被球面截在球内的线段长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　  　　　　　C．　　  　　　 D．

6．半径为R的两个球，一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线圆的周长为（　　）

A．　 　　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　 　　D．2

7．过正三棱锥一侧棱及其外接球的球心O所作截面如图所示，

则它的侧面三角形的顶角为（　　）

　　　 A．60°　 　　　　　　　B．90°　　　　　　　　　

　　　 C．120°　　　　　　　D．arccos

8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，则三

　 棱柱的体积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　）

　　　 A．　　　　　 B．　　　 　　 C．　　　 　　D．

9．若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北

　 纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为　　　　（　  ）

　　 A．　　　　 　　　B．　　　　　 C．　　　　  　D．

10．如图，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，

　　　 用一个锐角为45°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边

紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA＝5cm，

则球的表面积为　（　　）

　　　 A．100πcm²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．100(3＋2)πcm²

　　 C．100(3－2)πcm²D．200πcm²

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．

11．一个平面和一个球相切于A点，从球面上一点B作该平面的垂线BC，垂足是C，若AC＝4，BC＝3，则此球的半径是　　　　　  ．

12．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，那么这两个切点A、B在球面上的最短距离是　　　　　　 ．

13．已知球内接正方体的表面积为S，则球体积等于　　　　　　　　　 .

14．用底面半径2R的圆柱形铁罐做一种半径为R的球型产品的外包装，一听4个，铁罐的高度至少应为　　　　　　　　　 ．

三、解答题：本大题满分76分．

15．（12分） 如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积的大小关系．

 

16．（12分）A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，且球心为O，求：

①∠AOB，∠BOC的大小；

②球心到截面ABC的距离；

③球的内接正方体的表面积与球面积之比．

17．（12分）圆锥的内切半球的大圆在圆锥底面上，已知圆锥的全面积与半球的面积之比为18：5，如图，求圆锥的底面半径与母线长之比．

18．（12分）如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，

　 求这个球的表面积．

　　　　　　　　　　　　　　

19．（14分）如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积．

20．（14分）设棱锥M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如图，△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．

参考答案（五）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	C	B	C	C	B	D	D	B	B

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．　　　　 12． 　　　　　 13． 　　　　　　 14． 2R

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．(12分) 　解：设球的半径为R、正方体的棱长为a , 等边圆柱的底面半径为r, 且它们的体积都为V,

　　　　则：,　  ．

　　　　 ,　．

16．(12分) 解：①∵球面距离（θ为劣弧所对圆心角）, 故易得∠AOB=，∠BOC=，∠AOC=

②∵OA=OB=OC=1  ∴AB=AC=，BC=1,∴S_⊿OBC = ，　  S_⊿ABC=

V₀-ABC=·1=·d　　 ∴ d=

③设球的内接正方体棱长为a则a=2　∴a=,　S_正方体∶S_球面=6·∶4Л=2∶Л

17．(12分) 解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，球半径为R，作圆锥的轴截面SAB，E、F为切点，

18．(12分) 解:设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距

离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,

∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.

由正弦定理，得　=2r,∴r=a. 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。

又PO′===a，∴OO′=R － a=d=,(R－a)²

=R² – (a)²，解得R=a,∴S_球=4πR²=3πa².

19．（14分）解:设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为，另一边长为·=2，

∴r²=()²+()²=9，∴r=3，故S_半球=2πr²+πr²=27π，

　　　　 V_半球=πr³=18π，

　　　　 即半球的表面积为27π，体积为18π.

20．(14分) 解：如图，∵ AB⊥AD，AB⊥MA

　　　　 ∴ AB⊥平面MAD,设E、F分别为AD、BC的中点，

　　　　 则EF∥AB　∴ EF⊥平面MAD, ∴ EF⊥ME

　　　　 设球O是与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球，

　　　　 由对称性可设O为△MEF的内心，

　　　　 则球O的半径r满足：r ＝ 　　　　

　　　　 设AD＝EF＝a，∵ S_△MAD＝1,∴ ME＝，MF＝　　　　　　　　　

　　　　∴ r＝ ≤ ＝－1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　且当a＝，即a＝时，上式等号成立

　　　　∴ 当AD＝ME＝时，与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球的最大半径为－1．

　 再作OG⊥ME于G，过G作GH⊥MA于H，易证OG∥平面MAB
∴ G到平面MAB的距离就是球心O到平面MAB的距离,∵ △MGH∽△MAE，∴ ＝ ，

　　　　其中MG＝－(－1)＝1，AE＝，MA＝＝

　　　　∴ HG＝ ＝ ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵ ＞－1

　　　　∴ 点O到平面MAB的距离大于球O的半径,同样，点O到平面MCD的距离大于球O的半径

　　　　∴ 球O在棱锥M－ABCD中，且不可能再大，因而所求的最大球的半径为－1．