高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（5）—曲线方程和圆
共150分，考试用时120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果命题“坐标满足方程
的点都在曲线
上”是不正确的，那么下列命题中正确的是
（ ）
A．坐标满足方程于的点都不在曲线上
B．曲线上的点的坐标不都满足方程
C．坐标满足方程的点有些在曲线上，有些不在曲线上
D．至少有一个点不在曲线上，其坐标满足方程
2．等腰三角形
，若一腰的两个端点坐标分别是
，
，
顶点，则另一腰的一个端点的轨迹方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．定义运算
，则符合条件
的点P（x, y）的轨迹方程为 （ ）
A．(x－1)2+4y2=1 B．(x－1)2－4y2=1
C．(x－1)2+y2=1 D．(x－1)2－y2=1
4．设实数
满足条件
的最大值 （ ）
A．23 B．
D．5
5．关于x，y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是 （ ）
A．B=0，且A=C≠0 B．B=1且D2+E2-4AF＞0
C．B=0且A=C≠0，D2+E2－4AF≥0 D．B=0且A=C≠0,D2+E2－4AF＞0
6．如果动点P是△ABC所在平面上的点，且
，则点P的轨迹为 （ ）
A．两条平行直线 B．过点B的两条直线（除点B）
C．∠BAC的平分线 D．AC边的中垂线
7．对于满足x2+(y-1)2=1的任意x,y，不等式x+y+d≥0恒成立，则实数d的取值范围是（ ）
A．[
－1，+∞] B．(－∞，－1)
C．[ +1，+∞] D．(－∞， +1)
8．（2004全国文理2-4）已知圆C与圆
关于直线
对称，则圆C的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一辆卡车宽
A．
10．若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是 （ ）
A．－
＜k＜－1 B．－＜k＜1
C．－
＜k＜1 D．－2＜k＜2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．圆C：
为参数）的普通方程为
，设O为坐标原点，点M(x0, y0)在C上运动，点P(x,
y)是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为 .
12．由动点P向圆
PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是
.
13．已知
，则下列结论正确的是 （请将你认为正确的结论的序号全部填入）.
①它的图象关于x轴对称；
②它的图象关于y轴对称；
③它的图象关于原点对称；
④它的图象是一个封闭图形，且面积大于
⑤它的图象是一个封闭图形，且面积小于
14．已知P(3，0)是圆x2+y2－8x－2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是 ，过点P的最长弦所在直线方程是 .
15．若集合A={(x、y)｜y=－｜x｜－2}，B={(x,y)｜(x－a)2+y2=a2}满足A∩B=
，则实数a的取值范围是
.
三、解答题（本大题共6题，共75分）
16．（12分）自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0相切，求光线l与m所在直线方程.
17．（12分）已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与
｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
18．（12分）AB是圆O的直径，且｜AB｜=
19．（12分）已知P（1，2）为圆
内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于B、C两点，求B、C中点M的轨迹方程。
20．（13分）如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
21．（14分）设a、b、c都是整数，过圆
外一点
向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）。
参 考 答 案（5）
一、选择题（每小题5分，共50分）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | B | A | A | D | B | A | C | C | C |
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．
12．
13．①②③④ 令点
则该点在圆上，且在曲线
内.故它的图象围成封闭的图形的面积大于π.
14．8.x+y－3=0，x－y－3=0 15．－2(+1)＜a＜2(+1)
三解答题（本大题共6题，共75分）
16．（12分）l的方程为：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0
M的方程为3x－4y－3＝0或4x－3y+3＝0
17.
（12分）M的轨迹方程为(λ2－1)(x2+y2)－4λ2x+(1+4x2)=0，当λ=1时，方程为直线x=
.
当λ≠1时，方程为(x－
)2+y2=
它表示圆，该圆圆心坐标为(,0)
半径为
18.
（12分）x2+(y±
)2=()2轨迹是分别以CO，CD为直径的两个圆.
19．（12分）作出示意图如图30所示，连PM、OM、OC，设M（x，y）。
则在Rt△OMC中，
，又
，
故
，化简整理即得
，它就是所求的点M的轨迹方程。
20．（13分）命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的
轨迹方程，属★★★★★级题目.
知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.
错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问
题的实质，很难解决此题.
技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨
迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.
解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，AR=PR.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，AR2=AO2－OR2=36－(x2+y2)
又AR=PR=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=
,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
21．（14分）线段OP的中点的坐标为
，以OP为直径的圆的方程为
。（1）
将
代入（1）得
。
它就是过两切点的直线方程，如果有在格点。
因
，它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，
同理，
亦能被3整除。
于是
能被3整除，从而