池州市2003—2004学年度第二学期期末教学质量检测

高二数学试题（文理合卷）

参考公式：如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)=P^k(1-P)^n-k

球的表面积公式S=4R²　 球的体积公式V=R³

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1、给出四个命题：①线段AB在平面内，则直线AB不在内；②两个平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条相交直线共面；④有三个公共点的平面重合，其中正确命题的个数是（　）

A.O　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

2、两条异面直线指的是　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　 A.分别位于两个不同平面内的两条直线

B.空间内不相交的两条直线

C.某一平面内不相交两条直线

D.空间两条既不平行也不相交的两条直线

3、在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B与B₁C所成的角的度数为（　 ）

A.　 90°　　　　　　　B.60°　　　　　　　　 C.45°　　　　　　　　 D.30°

4、四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则点A在底面△BCD内的射影一定是△BCD的　　　　　　　　　　  （　 ）

A.内心　　　　　　　 B.外心　　　　　　　　 C.重心　　　　　　　　D.垂心

5、若ABCD是矩形，PA平面AC，连结PB、PC、PD，则图中直角三角形个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A.2个　　　　　　　　　　　B.3个　　　　　　C.4个　　　　　　D.6个

6、由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为　（　 ）

A.4　　　　　　　　　　 B.8　　　　　　　　 C.12　　　　　　　 D.24

7、四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=AD=1，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为　　　　　　　   （　 ）

A.3　　　　　　　　　B.4　　　　　　　C.6　　　　　　　D.12

8、已知直线l平面，有以下几个判断：①若ml，则m‖；②若m，则m‖l；③m‖，则ml；④若m‖l，则m，其中正确的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A.1　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　　　　 D.4

9、6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须相邻的不同排法有（　 ）

A.720种　　　　　　 B.360种　　　　 C.240种　　　　D.120种

10、从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A.144种　　　　　　 B.180种　　　　 C.240种　　　　D.300种

11、在（）⁸的展开式中常数项是　　　　　　　　 （　 ）

A.-28　　　　　　　　　B.-7　　　　　　　　C.7　　　　　　　　　　　 D.28

12、甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P₁，乙解决这个问题的概率是P₂，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（　 ）

A.　 P₁+P₂　　B. P₁·P₂　 C. 1-P₁·P₂ D. 1-(1- P₁) (1- P₂)

二、填空题：（每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上）

13、一块各面均涂有红漆的正方体被锯成27个同样大小的正方体，若将这些小正方体搅混在一起，则任取出的一个正方体两面均涂有红漆的概率是　　　　　　  。

14、已知正三角形ABC的边长为6，点O到△ABC各顶点的距离都是4，则点O到这个三角形所在平面的距离为　　　　　　  。

15、在正方体ABCD—A₁D₁C₁D₁中，E、F分别在A₁B₁、C₁D₁上，且B₁E=D₁F=，则BE与DF所成的角的余弦值为　　　　　 。

16、已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F－V=　

三、解答题：（本大题共5道题，共56分。请写出必要的文字说明和演算、推理步骤）

17、已知在一个60°的二面角的棱上有两个A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，垂直于AB的线段，又知AB=4，AC=6，BD=8，求CD的长。（10分）　　　　C

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A　　　　 B　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D　　　

　　　　 

18、箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色又放回箱内搅拌。假设进行三次抽取，试解答下列问题：

（1）求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；

（2）求事件B：“三次中恰有一次取出红球”的概率。（10分）

19、如图直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1,

∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁，AA₁的中点。

（1）求的长；　　　　　　　　　　　　 C₁　　　　 B₁　

（2）求cos（）的值；　　　　　  A₁　　　M　　　　　

（3）求证A₁BC₁M（12分）　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　N　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C　　　　B

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  A　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　

20、已知（1+3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数的最大的项及系数最大项。（12分）

21、（1）正方体12条棱中可组成多少对异面直线？

（2）以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？

（3）过正方体的任意2顶点作一直线，这些直线中有多少对异面直线？

高二数学评分标准及参考答案

一、选择题

1、B　　　　 2、D　　　　3、B　　　　 4、D　　　　5、C　　　　6、B　

7、A　　　　8、C　　　　9、C　　　　10、C　　　 11、C　　 12、D

二、填空题

13、　　　　14、2　　　 　 15、　　　　16、4

三、解答题

17、由已知CAAB，ABBD，＜，＞=180°－60°=120°

所以²=(++)²

=²+²+²+2×6×8×cos120°

=6²+4²+8²-2×6×8×=68　　　　　　　

∴=2……………………………………………（10分）

用其它方法去做也可。

18、（1）设事件A_i：第i次取黑球（i=1.2.3），则P(A_i)== （i=1.2.3）

∴P(A)=P(A₁)·P()·P(A₃)==…………（5分）

（2）记事件C：任取一球，恰取得红球

∴P(C)==　　∴P(B)=C=………（10分）

19、（1）=（4分）　

（2）cos（，₁）=………………………………（8分）

（3）证明：C₁(0，0.2) M(，，2) =(-1，1，-2)

=(，，0)，·=0　 所以 A₁BC₁M……（12分）

20、解：末三项的二项式系数分别为：C，C，C，由题设得：

C+C+C=121　即C +C+ C=121

∴n²+n-240=0　　∴n=15 (n=-16) (n=-16舍去) …………（4分）

当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项。

分别为C3⁷x⁷与C3⁸x⁸………………………………（6分）

∵展开式通项T_r+1= C(3x)^r= C3^r· x^r

设T_r+1项系数最大，则有

C3^r≥C3^r-1

　　　　　　　　　 　　解得11≤r≤12

C3^r≥C3^r+1

∴展开式中系数最大的项为T₁₂= C3¹¹x¹¹

T₁₃= C3¹²x¹² ……………（12分）

21、（1）=24（对）………………………………（4分）

（2）C-6-6=58个四面体……………………………（8分）

（3）∵每个四面体中三组对棱是3对异面直线

　　 故共有3×58=174对异面直线…………………（12分）