2005学年第二学期期中杭州地区七校联考试卷
高二年级数学学科
总分100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．分别在两相交平面内的两条直线的位置关系有
A．相交 B．相交或平行
C．相交或异面 D．相交或平行或异面
2．已知
垂直于正方形
所在平面，则下列等式中不成立的是
A．
B．
C．
D．
3．已知直线
与平面
成
角，直线
，若直线在内的射影与直线
也成角，则与所成角是
A．
B． C．
D．
4．下列命题是真命题的是
A．若直线
都平行于平面，则
；
B．设
是直二面角，若
，则
；
C．若直线在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且
，则
在内或 与平行；
D．若直线是异面直线，若与平面平行，则与相交。
5．如图，在平行六面体
中，
为
的交点。若
，则下列向量中与
相等的向量是
A．
B．
C．
D．
6．已知
则以
为邻边的平行四边形的面积为
A．
B．
C．4 D．8
7．平行六面体的六个面都是菱形，则顶点
在平面
上的射影一定是
的
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
8．正方体的棱长为
， 
是棱
的中点，则点到直线
的距离是
A．
B．
C．
D．
9． 棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为，且最长的侧棱长为
，则棱锥的高为
A．
B．
C．
D．
10．一个四面体的某一顶点上的三条棱两两互相垂直，其长均为
，且四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11．对空间任一点
和不共线的三点
之间满足向量关系式
，当点
与共面时，则=
。
12．已知点A、B和平面的距离分别是40和70，P为线段AB内一点，且
，则点P到平面的距离是
。
13．在北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度差为，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是
。
14．
是两个不同的平面，是平面及
之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②
；③
；④
，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：
。（注：写出一个即可。）
15．已知每条棱长都为3的直平行六面体中，
，
长为2的线段
的一个端点在
上
运动，另一个端点
在底面上运动，
则中点的轨迹与直平行六面体的面
所围成的几何体的体积为 。
三、解答题（本大题共4小题，共50分）
16．（本小题满分12分）
在直三棱柱
中，
，棱
，
分别是
的中点。
（1）求
的长；
（2）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（3）求证：
。
17. （本小题满分12分）
如图，在正四棱柱中，
，点为棱的中点。
（1）证明：
//平面
； （2）求直线到平面的距离；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值。
| |||
| |||
18．（本小题满分12分）
在如图所示的三棱锥
中，
和平面
所成的角为。
（1）求证：平面
； （2）求三棱锥的全面积
；
（3）求证：
四点在同一球面上。
19. （本小题满分14分）
如图，在直角梯形中，
平面，
，在线段
上取一点（不含端点），
使
，截面
与
交于点
。
（1）求证：四边形
为直角梯形；
（2）求二面角
的平面角的正切值；
（3）设的中点为，当
为何值时，
能使
？请给出证明。
2005学年第二学期期中杭州地区七校联考答案
高二年级数学学科
一、选择题：（本题每小题3分，共30分）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | B | C | C | D | A | B | D | C | A |
二、填空题：（本题每小题4分，共20分）
11．2
12．49或7
13． 
|
14．①，③，④
②或②，③，④①
15．
三、解答题（本大题4小题，共50分）
|
解：（1）以C为原点，
所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系C-xyz，
则B（0，1，0），N（1，0，1），
； 
4分
|
|
|
|
|
所以，异面直线与所成角的余弦值是
。4分
（3）
。 4分
17．（本小题满分12分）
解：（1）连结BD交AC于 O，连结EO，
可知
，又EO
平面，
所以//平面；
4分
（2）以D为原点，
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），0（1，1，0），设平面的一个法向量为
=（x，y，z），又
，
，可得平面的一个法向量为
，又
，所以直线到平面的距离为
。
4分
（3）
，
面，
所以
即为直线与平面所成的角。
，，则sin=
，
所以直线与平面所成角的正弦值为
。
4分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由已知
为等腰直角三角形，且
。
在
中，
，
，
为等腰直角三角形。
，
平面。 4分
法2：以CA，CB所在直线分别为x，y轴建系则A（1，0，0），B（0，
，0），
C（0，0，0），P（1，0，1）则
，
设平面PBC的法向量为
，则
，取
，
又平面PAC的一个法向量为
，
，平面。
4分
（2）全面积
。
4分
（3）取PB中点O，由上可知，
，
同理，
，
，
所以四点在同一球面上。
4分
19．（本小题满分14分）
解：（1）
平面
，
平面。
。又
平面ABCD，
，
平面SAD，
，
又
为直角梯形。
4分
（2）
，
即为二面角的平面角。2分
。
，2分
，二面角的平面角的正切值为。 2分
法2：分别以DA，DC，DS所在直线为x，y，z轴建系，则
设
，由在上，可得
，又，
，
2分
设平面BEF的法向量为
，则
可得
同理可得平面EFCD的法向量为
2分
二面角的平面角的正切值为。
2分
（3）当=2时，。
，
又
4分
法2：
，
若，则
，即
得
，所以，当=2时，有。
4分