博罗高级中学2005年秋季期末考试试题
高二数学(理科)
说明：本试题分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟
.
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。请把答案写在答题卡上。）
1.命题
.下列结论正确的是（ ）
A. 
为真 B. 
为真 C. 
为假 D. 
为真
2．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1.
则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
3．抛物线
的焦点坐标是
( )
A．
B．
C．
D．
4．若f(x)=sinα－cosx,则f′(α)等于（ ）
A、sinα B、cosα C、sinα+cosα D、2sinα
5、方程
=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是
( )
A.
-16<m<25 B.m<
6. 过椭圆
的左焦点F引一条倾斜角为
的直线,则以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形面积为
( )
A.
B.
C.
D.
7．下列求导运算正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、 
8．函数
有（ ）
A、极大值5，极小值－27 B、极大值5，极小值－11
C、极大值5，无极小值 D、极小值－27，无极大值
9. 
是
的左焦点，P为随圆上的动点A（1，1）为定点，则
的最小值为 （
）
A、
B、
C、
D、
10.记定点M
与抛物线
上的点P之间距离为
，P到抛物线准线
的距离为
，则当
取最小值时，P点坐标为 （ ）
A. (1, 
) B．（0，0） C. (2 ，2 ) D. 
二、填空题（每小题5分，共20分,请把答案写在答题卡上。）
11．椭圆与双曲线
有相同的焦点F1 和F2，P为椭圆上一点，且F
12、 函数
的单调区间是___________________________；
13、曲线
在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；
14、P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值为 .
博罗高级中学2005年秋季期末考试试题
高二数学(理科)答题卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 |
二、填空题（每小题5分，共20分）
11． 12.
13.
14、
三、解答题（共80分）
15.（本小题10分） 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率
，准线方程为
,求椭圆的方程．
16.（本小题满分14分）求函数
在区间
上的最大值与最小值。
17.(本小题14分)命题p ：关于
的一元二次方程
有两个不相等的异根。
命题q ：关于的一元二次方程
有两个正根。
命题p和命题q有且只有一个为真，求m的取值范围。
18、(本小题14分)如图，一矩形铁皮的长为
 |
19．（本小题满分14分）已知
是过点
的两条互相垂直的直线，且与双曲线
各有两个交点，分别为
和
，若
，求的方程。
20（本题14分）设双曲线：
的焦点为F1,F2.离心率为2。
（1）求此双曲线渐近线L1,L2的方程；
（2）若A,B分别为L1,L2上的动点，且2
,求线段AB中点M的
轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
博罗高级中学2005年秋季期末考试试题
高二数学(理科)参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | A | A | C | A | B | B | B | C | B | C |
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．
12. 增区间：
，减区间：
13. 
，
14、
三、解答题（共80分）
15.（本小题10分）
解：因为椭圆的准线方程为, 则设椭圆的方程为
因为，所以
＝，……………………3分
因为
, 所以
，……………………5分
解得
,所以
……………………8分
所以椭圆的方程为：
………10分
16.（本小题满分14分）
解：
,当
得x=0或x=－1或x=－3；………………4分
∵0
[－1，4]，－1[－1，4]，－3
[－1，4]，………………8分
又f(0)=1，f(－1)=0；右端点处f(4)=1024+1280+320+1=2625；………………12分
∴函数
在区间[－1，4]上的最大值为2625，最小值为0。…14
17.(本小题14分)
解: 若命题p为真命题,则
…………………3分
若命题q为真命题,则
…………………7分
因为命题p和命题q有且只有一个为真
(1) 命题p 真, 命题q假,则
……………10分
(2) 命题p 假, 命题q真,则
………………12分
由(1)(2)得m取值范围为
…………………14分
18、(本小题14分)解：设小正方形的边长为xcm，盒子容积为y=f(x)；则
y=f(x)=(8－2x)(5－2x)x=4x3－26x2+40x (
)；……………………4分
∵
；当得
；8分
∵
，又f(1)=18，f(0)= f(
)=0，
……………12分
∴小正方形边长为1㎝时，盒子的容积最大，为18㎝3。…………14分
19.（本小题满分14分）
解 ：设
，则 
…………………4分
…………………6分
同理对于
…………………8分
由得
解得
…………………10分
当
时，
…………………12分
当
时
…………………14分
20（本题14分）设双曲线：的焦点为F1,F2.离心率为2。
（1）求此双曲线渐近线L1,L2的方程；(5分)
（2）若A,B分别为L1,L2上的动点，且2,求线段AB中点M的
轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。(9分)
解：（1）由已知双曲线的离心率为2得：
解得a2=1, ……………2分
所以双曲线的方程为
所以渐近线L1,L2的方程为
和
＝0……………5分
（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以
，
又2所以
=10
……………3分
设A在L1上，B在L2上，设A（x1 ，
，B(x2，－
所以
即
…………5分
设AB的中点M的坐标为（x，y），则x＝
，y＝
所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2
y……………7分
所以
整理得：
……………8分
所以线段AB中点M的轨迹方程为：，轨迹是椭圆。………9分