北大附中2002-2003学年第一学期期中考试
数学试卷
2002．11．6
一、选择题：（每个小题3分，共10小题，计30分）在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡对应的位置。
1、若a、b、c∈R，且a-c<b，则（ ）
（A）a<b+c (B)a<b-c
(C)a<b+c (D)a>c-b
2、已知a>0，b>0，则不等式
的解集为（ ）
（A）
或
（B）
或
（C）
或
（D）
或
3、不等式
的解集是（ ）
（A）（-1，3） （B）（-3，1）
（C）（3，+∞） （D）（-∞，-1）∪（3，+∞）
4、不等式
的解集是（ ）
（A）{x
x>1}
（B）
（C）{x x≥1或x=-2} （D）{x x≥-2且x≠1}
5、设
，
，
，则a，b，c的大小关系是（ ）
（A）a<b<c （B）c<b<a
（C）a<c<b （D）c<a<b
6、若ab<0，则直线
的倾斜角为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7、直线l到直线2x+y-1=0的角是45°，则直线l的斜率是（ ）
（A）
（B）3
（C）-1或3
（D）或3
8、下列四个命题中，正确的是（ ）
（A）通过点（0，2）且倾斜角是15°的直线方程是
。
（B）设直线
和
的斜率分别为
和
，则和的夹角是
。
（C）直线
的倾斜角是
。
（D）已知三点A（a+b，c），B（b+c，a），C（c+a，b），则A，B，C三点共线。
9、设 k为实数，则直线方程y = k (x+1)表示的图形是（ ）
（A）通过点（1，0）的一切直线。
（B）通过点（-1，0）的一切直线。
（C）通过点（1，0）且不与y轴平行的一切直线。
（D）通过点（-1，0）且不与y轴平行的一切直线。
10、已知A（3，1），B（-1，2），若∠ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在直线方程是（ ）
（A）y=2x+1
（B）
（C）y=-3x-1 （D）x-2y-1=0
二、填空题：（每空4分，共6空，计24分）请把你认为正确的答案填写在答题卡对应的位置。
11、若不等式
的解集是2<x<3，则不等式
的解集是：________
12、不等式
的解集是：_______________
13、不等式
的解集是：_____________
14、函数
的定义域是________________，值域是___________。
15、△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（4，4），直线l平行于BC，截△ABC得到一个小三角形，且截得小三角形面积是△ABC面积的
，则直线l的方程为______________
三、解答题：（共6小题，计46分）请写出详细的解题过程。
16、（本题6分）已知
，
，…，
均为正数，且
，
求证：
17、（本题8分）已知a，b，
，求证：
18、（本题8分）解不等式：
19、（本题8分）解关于x的不等式：
20、（本题8分）求与直线
平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程。
21、（本题8分）等腰三角形两腰所在的直线方程是
，
，它的底边所在直线经过点A（3，-8），求底边所在直线方程。
北大附中2002-2003学年第一学期期中考试数学试卷答案
一、选择题答题卡：（每小题3分，共30分）
1A 2B 3C 4C 5A 6C 7B 8D 9D 10D
二、填空题答题卡：（每个空4分，共24分）
11、
12、（-∞，-1]∪（1，2]
13、
，且x≠0
14、
；
15、x=2
三、解答题：（共6小题，计46分）请写出详细的解题过程。
16、（本题6分）已知，，…，均为正数，且，
求证：
证明：∵
，1>0；
；…………2分
同理：
；…………
由不等式性质：上面n大于0的同向不等式相乘，即得：
…………4分
∵已知：，代入上式得：
…………6分
17、（本题8分）已知a，b，，求证：
证明：欲证成立，
只需证明：
成立…………2分
即证明：
，
∵a，b，…………3分
∴
…………6分
可知：成立。
所以，原不等式成立，即…………8分
18、（本题8分）解不等式：
证明：原不等式等价于
①…………2分
或
②…………4分
由不等式①解得：
解出：
…………6分
由不等式解得：
解出：
…………7分
综上：原不等式的解集为
。…………8分
19、（本题8分）解关于x的不等式：
解：原不等式等价于：
即：（x+a）(x+3)(x+1)>0 …………3分
①当-a<-3, 即a.>3时：原不等式解集为：（-a,-3）∪（-1，+∞）…………4分
②当-a=-3，即a=3时，原不等式解集为：（-1，+∞）…………5分
③当-3<-a<-1，即1<a<3时，原不等式解集为：（-3，-a）∪（-1，+∞）…………6分
④当-a=-1，即a=1时，原不等式解集为（-3，-1）∪（-1，+∞）…………7分
⑤当-a>-1，即a<1时，原不等式解集为：（-3，-1）∪（-a，+∞）…………8分
20、（本题8分）求与直线平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程。
解：直线，化为斜截式：
所以，的斜率为
；
∵所求直线
,
∴l的斜率也为；
∴设l的方程为
，…………3分
∵l与两坐标轴都相交在正半轴，∴m>0；
当y=0时，求得直线l和x轴交点为
由已知l与x轴，y轴所围成的三角形面积为24。
所以：
，…………6分
解出：m=±6，由分析m>0，舍去-6，所以m=6，…………7分
所以，所求的直线方程为
，即：3x+4y-24=0…………8分
解二：设为截距式…………3分
列出方程组…………5分
解出…………7分 正确答案…………8分
21、（本题8分）等腰三角形两腰所在的直线方程是，，它的底边所在直线经过点A（3，-8），求底边所在直线方程。
解：设，，底边所在直线的斜率分别为，，k；
由得y=7x-9，所以
，
由得y=-x+7，所以
；…………2分
如图，由等腰三角形性质，可知：l到的角=到l的角；
由到角公式得：
…………3分
图 …………4分
解出：k=-3或
…………6分
由已知：底边经过点A（3，-8），
代入点斜式，得出直线方程：
或
………………7分
3x+y-1=0或x-3y-27=0。………………8分