北大附中高二第二学期数学期中考试
______班 姓名：________
一、选择题：（30分）
1．若用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则
A．C=R∪I B．R∩I={0}
C．
D．R∩I=ф
2．已知x、y是复数，
（1）若
，则x=y=0，
（2）若xy=0，则x=0或y=0
（3）
，
（4）若
则x是纯虚数。
上面的命题中正确的命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a>b>0则
A．
B．
C．
D．
4．某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N)时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=100时该命题不成立，那么可以推得：
A．当n=101时该命题不成立
B．当n=101时该命题成立
C．当n=99时该命题不成立
D．当n=99时该命题成立
5．复数
等于
A．
B．
C．
D．
6．集点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是
A．
B．
C．
D．
7．用一个与圆柱母线成60度的平面截圆柱，截口是一个椭圆，这个椭圆的离心率是
A．
B．0.5
C．0.25 D．
8．设双曲线C：
的左准线与x轴交点是M，则过M与双曲线C有且只有一个交点的直线共有
A．2条 B．3条
C．4条 D．无数条
9．过抛物线
的焦点做直线交抛物线与
，
两点，若
则AB等于：
A．2p B．4p
C．6p D．8p
10．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′，若曲线C′的方程为
，则曲线C的焦点坐标为：
A．（6，1），（0，-1） B．（-6，1）（0，1）
C．（-3，2），（-3，-4） D．（3，2），（3，-4）
二、填空题：（32分）
11．椭圆：
的离心率e=_______，准线方程：________.
12．复数
的实部是______，虚部是______.
13．已知等比数列
中，
，
，
，则
等于_________。
14．计算：
。
15．双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，过
，一条渐近线方程为12x-5y=0，则双曲线方程为：___________
16．已知方程z-2-z+2=a表示等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等的双曲线），则实数a的值为：________
17．已知z=2，则当z=_________时，有z+5i的最大值等于___________
18．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为_________米。（精确到0.1米）
三．过程题：
19．（6分）求满足下列条件的复数z：
20．（8分）过抛物线
的焦点，且倾斜角为
的直线交抛物线于P、Q两点，O是坐标原点，求△OPQ的面积。
21．（12分）已知数列满足：
，
, 
（n∈N）
（1）计算
、
、
，猜想数列的通项公式；用数学归纳法给出证明。
（2）比较
与
的大小，证明得到的结论。
22．（12分）设双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=2，其中一个焦点与抛物线
相同，直线a：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，
（1）求双曲线C 的方程；（2）k 为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（3）是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=mx对称(m为常数)？若存在求出k；若不存在说明理由。
北大附中高二第二学期数学期中考试参考答案
一．1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.B 10.B
二．
11．
，
12．-2，3
13．
14．-1+(7-9i)/5=-12/5-9i/5
15．
16．
17．2i 7
18．2.6
三．
19．解设z=x+yi, x,y∈R
解得：
所求复数为：z=3i
20．解：
（1）计算得：
、
、
；(1分)
猜想的通项公式为：
其中n∈N
下面用数学归纳法给出证明：
直接验算知，, 满足。
假设n=k和n=k+1时猜想成立，即
；
；
猜想也成立，
由数学归纳法知：
的通项公式是其中n∈N
（2）
，
，
、
、
，
、
、
当n≥7有，
成立， (1分)
下面证明这一结论：
n=7时已验证命题成立：
假设n=k（≥7）时有
成立，
n=k+1时：
，
这是因为k≥7时，
命题也成立，由数学归纳法知：
对n≥7得自然数，有成立。(5分)
综上所述：当n=1或n≥7时：；当使：2≤n≤6时，。(6分)
21．解：
抛物线的焦点为F（1，0），过F点倾斜角为的直线方程设为y=-(x-1)与联立。
可以求得PQ=8。坐标原点O到直线y=-(x-1)的距离为△OPQ的高，其数值为，
故所求△OPQ的面积为
（面积单位）。
22．略解：
（1）所求双曲线C的方程：
（2）……①与直线a：y=kx+1……②联立
得：
……③
△>0得
……④
设，，要使以AB为直径的圆过原点，就要OA⊥OB，
也即：
利用③和韦达定理，得
，k=±1这个结果也满足条件④。
（3）若双曲线C上存在A、B关于直线y=mx对称，则
，⑤
AB的中点
，
应在直线y=mx上，
于是：
……⑥
再由③
代入⑥：
。
得到k=3/m这与⑤矛盾。故所求k不存在。