襄樊市高中调研测试题(2005．6)

高二数学(文科)参考答案及评分标准

命题人：襄樊市教学研究室 郭仁俊

说明：

　　　 1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

　　　 2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

　　　 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题：BADD　　BCBC　　CDBB

二．填空题：13．5　　14．240　　15．　　16．②④

三．解答题：

17．解：
 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　依题意得，即n²＝81，n＝9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　设第r＋1项含x³项，
　　则 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　∴，r＝1
　　∴第二项为含x³的项：T₂＝－2＝－18x³　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18．证法一：设直线a与平面相交于点A，在平面取一点B
　　若点B在直线a上，则直线a与平面相交于点B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　若点B不在直线a上，则直线a和点B确定一个平面
　　且平面与平面相交于过A点的直线b，平面与平面相交于过B点的直线c
　　∵，∴b∥c 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　又在平面内，直线a与直线b相交，∴直线a与直线c相交于一点C
　　∵，∴，故直线a与平面相交于C点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

证法二：设a与不相交，则或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　(1)若，∵，∴
　　与a与相交矛盾　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)若，过作平面，∩＝b，∩＝c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　∵，∴，
　　因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　又∵，∴
　　与a与相交矛盾　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
　　由(1)(2)可得：a与相交　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19．(1)解：分别记甲、乙、丙三个网络系统在这段时间内受黑客入侵的事件为A、B、C
　　依题意：A、B、C三个事件相互独立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　∴在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为
　　P₁＝P(A ·B ·C)＝ P(A) ·P(B)·P(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　＝0.1×0.2×0.15＝0.003　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

(2)解：在这段时间内只有一个网络系统受到黑客入侵为三个事件、、之一，且这三个事件彼此互斥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分
　　∴只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为
　　P₂＝P(＋＋)
　　　＝P()＋P()＋P()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分
　　　＝0.1×(1－0.2)×(1－0.15)＋(1－0.1)×0.2×(1－0.15)＋(1－0.1)×(1－0.2)×0.15
　　　＝0.329　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分
　　答：在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为0.003，只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为0.329　　12分

20.方法一：(1)取CD边中点R，连结MR、NR，则NR∥PD，MR∥AD　　　　　　　 2分
　　∵AB⊥AD　Þ　AB⊥MR
　　又PA⊥平面ABCD ，由三垂线定理知AB⊥PD Þ AB⊥NR
　　∴AB⊥面MNR  Þ　AB⊥MN．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PD⊥CD，∴∠PDA＝45°　　　　　　　　　　　　 6分
　　∴PA＝AD
　  ∵M是AB的中点，∴BM＝AM，∠ABC＝∠PAD＝90°
　　∴△CBM≌△PAM，故PM＝CM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　∵N是PC的中点，∴MN⊥PC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　即MN是异面直线AB与PC的公垂线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分　　

方法二：以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，AP＝c
　　则B(a，0，0)，C(a，b，0)，D(0，b，0)，P(0，0，c)
　　∴M(，0，0)，N()，R()
　　故，＝(a，0，0)，＝(a，b，－c)
　　(1)∵，∴AB⊥MN．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　(2) ∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PD⊥CD
　　∴∠PDA＝45°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　∴b＝c
　　∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　∴MN⊥PC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　即MN是异面直线AB与PC的公垂线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

21．(1)解：设青蛙顺时针跳动1次为事件A，逆时针跳动1次为事件B，则
　　P(A)＝，P(B)＝1－P(A)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　青蛙从A点开始经过3次跳动到达D点有两种方式：顺时针跳动3次或逆时针跳动3次
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　故所求概率为P(A·A·A)＋P(B·B·B)＝　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)青蛙从A点开始经过3次跳动到达F点的方式为：顺时针跳动2次而逆时针跳动1次　　　 8分
　　故所求概率为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

22．方法一：(1)证：记AC与BD的交点为O，连接OE，
　　∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
　　∴四边形AOEM是平行四边形，
　　∴AM∥OE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　∵平面BDE， 平面BDE，
　　∴AM∥平面BDE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)解：∵BD⊥AC，BD⊥AF且AC交AF于A，
　　∴BD⊥平面ACEF，故BD⊥AM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　∵在正方形ABCD中，AD＝，∴OA＝1
　　又AF＝1，∴AOMF是正方形，因此AM⊥OF
　　∴AM⊥平面BDF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)解：设AM与OF相交于H，过H作HG⊥DF于G，连结AG
　　由三垂线定理得AG⊥DF
　　∴∠AGH是二面角A－DF－B的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∵，∴，∴∠AGH＝60°
　　即二面角A－DF－B的大小为60°．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

方法二：(1)同方法一

 (2)解：以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则
　　A(，，0)，B(0，,0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F(，，1)，M
　　∴
　　
　　∵，∴　　6分
　　同理
　　∴AM⊥平面BDF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)解：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF．
　　∴为平面DAF的法向量．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　设平面BDF的法向量为n＝(x，y，1)，则
　　，即，解得x＝y＝
　　 ∴n＝(，，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　 ∴cos<，n>＝，∴与n的夹角是60º．
　　 即所求二面角A—DF—B的大小是60º．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分