2005学年第一学期杭州市高二期末教学质量检测数学试题卷
考生须知:
1. 本卷满分100分, 考试时间90分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
4. 考试结束, 只需上交答题卷.
一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .
1．已知直线
. 那么直线
与
的夹角为
(A) 
(B)
(C)
(D)
2. 若
R, 且
, 则下列判断正确的是
(A) 
(B)
(C)
(D)
3. 若直线
经过点
, 且倾斜角为
, 则直线的方程是
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
4. 已知
是椭圆
的两个焦点, 
是椭圆上的点, 若
, 则这样的点
有
(A) 2个 (B) 4个 (C) 6个 (D) 0个
5. 抛物线
的准线方程是
(A) 
(B)
(C)
(D)
6. 已知
, 那么
之间的大小关系是
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
7. 直线
和圆
的位置关系必定是
(A) 相离 (B) 相交 (C) 相切 (D) 相交或相切
8. 关于
的不等式
的解集是
, 那么另一个关于
的不等式
的解集应该是
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
9. 如果
, 那么
的取值范围是
(A) 
(B)
(C) 
(D)
10. 若
, 则线性目标函数
的取值范围是
(A) [ 2,5 ] (B) [ 2,6 ] (C) [ 3,5 ] (D) [ 3,6 ]
11. 已知双曲线 的左, 右焦点分别为, 点在双曲线的右支上, 且, 则此双曲线的离心率的最大值是
(A) 2 (B) (C) (D)
12. 某郊区冬季暖房培植西瓜供应城市市场, 当市场价格上涨时, 市场供给量增加, 市场需求量减少, 具体调查结果如下表:
表(1) 市场售价与供给量的关系 表(2) 市场售价与需求量的关系
| 单价(元/公斤) | 2 | 2.4 | 2.8 | 3.2 | 3.6 | 4 | 单价(元/公斤) | 4 | 3.4 | 2.9 | 2.6 | 2.3 | 2 | |
| 供给量(吨) | 50 | 60 | 70 | 75 | 80 | 90 | 需求量(吨) | 50 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
则市场供需平衡 (即供给量和需求量相等时的单价) 所在的一个区间应为
(A) [2.3, 2.6] (B) [2.4, 2.6] (C) [2.6, 2.8] (D) [2.8, 2.9]
二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.
13．椭圆, 双曲线和抛物线, 它们都是 ________________________ 的点的集合(或轨迹).
14. 若, 则有最 ____ 值为 ____ ; 若,则有最 ____ 值为 ____.
15. 若
是圆
的弦
的中点, 那么直线的方程是
_____________________ .
16. 已知
, 则不等式
的解集是 ___________ .
17. 有以下4个命题: ① 若
, 则
; ② 若
, 则
;
③ 两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等; ④ 过点
与圆
相切的直线方程是
. 其中错误命题的序号是
______________ . (把你认为错误的命题序号都填上)
三．解答题：本大题有4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
18．(本小题满分10分)
若不等式
对
恒成立, 求实数
的取值范围.
19. (本小题满分10分)
设中心在原点的椭圆与双曲线
有公共的焦点, 且它们的离心率互为倒数,
求该椭圆的方程.
20. (本小题满分12分)
(理科)圆
内有一点
(4,2), 过点作直角
交圆于
, 求动弦中点的轨迹方程.
(文科)直线
与圆
相交于两个不同的点, 当取不同的实数值时, 求动弦中点的轨迹方程.
21. (本小题满分12分)
长为(米)的大型机器零件, 在通过传送带的流水线时, 为安全起见, 零件之间的距离不得小于(米). 其中(米/时)是流水线的流速, 为比例系数. 现经测定, 当流速为60 (米/时) 时, 零件之间的安全距离为1.44.
(1) 根据给出数据求出比例系数;
(2) 写出流水线上的流量关于流水线流速的函数关系式; (流量是单位时间内通过的零件数, 即)
(3) 应该规定多大的流速, 才能使同一流水线上的零件流量最大? 最大流量是多少?
22 附加题: (本题满分5分, 但全卷总分不超过100分)
课本小结与复习的参考例题中, 给大家分别用“综合法”,“比较法”和“分析法”证明了不等式: 已知
都是实数, 且
, 则
.
这就是著名的柯西(
.法国)不等式当
时的特例, 即
, 等号当且仅当
时成立.
请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式, 并用一种方法加以证明.
2005学年第一学期杭州市高二年级教学质量检测
数学参考答案
一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分.
题号12答案ADBACBBDABDC
二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分.
13．与定点和定直线距离的比是常数 (有道理适当给分) 14. 小, 3; 大, -1
15. 
16.
17. ② ③ ④.
三．解答题：本大题有4小题, 共44分.
18．(本小题满分10分)
原不等式即为, --- 2分
因其分母二次三项式的判别式恒小于0, 所以分母恒大于0, --- 2分
原命题等价于 恒成立, 即
恒成立, 则只需其判别式恒小于0, --- 2分
可解得实数的取值范围为 . --- 4分
19. (本小题满分10分)
由条件可得已知双曲线的半焦距, 离心率, --- 3分
那么所求的椭圆的半焦距也是, 离心率为, 那么, --- 4分
椭圆的半短轴应为, 焦点在轴上, 所求方程应为. --- 3分
20. (本小题满分12分)
(理)已知圆方程
, 设的中点
,
--- 2分
则有
,
--- 4分
即
,
---
2分
整理化简可得中点轨迹方程为
.
--- 4分
(文)将直线和圆方程联立, 消去
, 得
,
--- 4分
设此方程两根为
, 的中点, 由韦达定理中点坐标得
, 代入直线,
---
4分
整理化简可得中点轨迹方程为
(位于圆内).
--- 4分
21 (本小题满分12分)
(1) 将流速为60(米/时), 安全距离为1.44代入, 可求得; --- 3分
(2) --- 3分
(3) , 当, 即流速时, 能使
流量达到最大为. --- 6分
附加题：(满分5分，总分不超过120分)
柯西不等式中文叙述: 两组实数乘积和的平方不大于平方和的乘积; --- 1分
数学语言: 给定两组实数
，
, 则有
.
--- 1分
证明: 令
,
（1）若
全为0，则结论显然成立；
（2）若不全为0，则
，
为首项系数大于0的一元二次函数，并且
，故的判别式
，即,
显然，当且仅当
时等号成立.
--- 3分
(没有采用求和符号内容过程正确均可以)