2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)

2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)
第一试

一、选择题

1.　　　 否定结论“至少有两个解”的正确说法是(　　)
A、至少有三个解　 B、至多有一个解　　C、至多有两个解　　D、只有一个解

2.　　　 点P(ln(2^x＋2^－x－tan)，cos2)(x∈R)位于坐标平面的(　　)
A、第一象限　　　 B、第二象限　　　　C、第三象限　　　　D、第四象限

3.　　　 已知y＝f(x)是定义在R上的函数
条件甲：y＝f(x)没有反函数；条件乙：y＝f(x)不是单调函数.
则条件甲是条件乙的(　　)
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件　C、充要条件　　　　D、既不充分也不必要条件

4.　　　 已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(－，)，则θ的值等于(　　)
A、－arccos B、－arccos　C、－arccos　D、－

5.　　　 Suppose that a∈R ，line(1－a)x＋(a＋1)y－4(a＋1)＝0，always passes through a fixed point P，and point Q is on the curve x²－xy＋1＝0，Then the range of slope of a line passing through P and Q is(　　)
A、[－2，＋∞)　　B、[－3，＋∞)　　 C、(1，＋∞)　　　 D、(3，＋∞)
(英汉词典：fixed point 固定点；range 范围；slope 斜率；to pass through 通过)

6.　　　 函数y＝＋log(cos2x＋sinx－1)的定义域是(　　)
A、(0，)　　　　 　　　　　　　　　 B、[－5，－)∪(0，)
C、(－，－π)∪(0，)　　　　　　　 D、(0，)

7.　　　 关于方程＝tanα(α是常数且α≠，k∈Z)，以下结论中不正确的是(　　)
A、可以表示双曲线 B、可以表示椭圆　　C、可以表示圆　　　D、可以表示直线

8.　　　 F₁、F₂为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂＝90°，且PF₂＜PF₁，已知椭圆的离心率为，则∠PF₁F₂∶∠PF₂F₁＝(　　)
A、1∶5　　　　　 B、1∶3　　　　　　C、1∶2　　　　　　D、1∶1

9.　　　 关于x的方程e^lnx－2＝t(0＜t＜1)，其中t是常数，则方程根的个数是(　　)
A、2　　　　　　　B、3　　　　　　　 C、4　　　　　　　 D、不能确定的

10.　　若双曲线x²－y²＝a²(a＞0)关于直线y＝x－2对称的曲线与直线2x＋3y－6＝0相切，则a的值为(　　)
A、　　　　　 B、　　　　　　C、　　　　　 D、

二、A组填空题

11.　　直线3x＋2y＝1上的点P到点A(2，1)，B(1，－2)的距离相等，则点P的坐标是__________.

12.　　已知向量满足＝2，＝1，且夹角为60°，则使向量＋λ与λ－2的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________________.

13.　　已知ax－3≤b的解集是[－]，则a＋b＝_______________.

14.　　不等式(2＋)^x＋(2－)^x＞8的解集是_________________.

15.　　方程(arccosx)²＋(2－t)arccosx＋4＝0有实数解，则t的取值范围是________________.

16.　　△ABC的三个内角为A、B、C，且2C－B＝180°，又△ABC的周长与最长边的比值为m，那么m的最大值为__________________.

17.　　双曲线x(y＋1)＝1的准线方程为_________________.

18.　　不等式x＋2≤a(x＋y)对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为___________.

19.　　一只小船与10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m/s的速度前进，如图，现在小船在水面P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处(其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为____________米(不考虑汽车和小船本身的大小).

20.　　已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在正方体表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线(此曲线不一定在同一平面上)，则此曲线的长度为_______________.

三、B组填空题

21.　　Let S_n be the sum of the first n terms of an arithmetic sequence . Assume that S₃＝9，S₂₀＞0，and S₂₁＜0 . Then the range of the common difference d is ___________，the maximum term of the sequence S₁，S₂，S₃，……，is ____________.
(英汉词典：term项；arithmetic sequence等差数列；common difference公差；maximum term最大(值)项)

22.　　若x，y∈R，且满足＝6，则x＋2y的最小值是________，最大值是_______.

23.　　经过点E(－，0)的直线l，交抛物线C:y²＝2px(p＞0)于A、B两点，l的倾斜角为α，则α的取值范围是______________；F为抛物线的焦点，△ABF的面积为___________(用p，α表示)

24.　　球面上有十个圆，这十个圆可将球面至少分成___________个区域，至多分成___________个区域.

25.　　点P(x，y)的坐标满足关系式且x，y均为整数，则x＋y的最小值为__________，此时P点坐标是____________.

2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)

答案

选择题：BDADBCDACB

A组填空题

题号	11	12			13
答案	(，－)	(－1－，－1＋)			6
题号	14				15		16
答案	(－∞，log(4－))∪(log(4＋)，＋∞)				[6，＋∞)
题号	17		18	19		20
答案	y＝－x＋－1与y＝－x－－1		2	30		π

B组填空题

题号	21	22	23
答案	(－，－)；S10	32；80	(0，)∪(，π)；
题号	24		25
答案	11；92		12；(3，9），(4，8)