立体几何空间直线解答题

空间直线解答题

1、在空间四边形ABCD中,各边长和对角线长均为a,点E、F分别是BD、AC的中点,求异面直线AE和BF所成的角.

　　　　　　　  翰林汇

2、如图，空间四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=DC=1，AD和BC成角60^o，E、F分别是AB、DC的中点。求：

（1）AB和DC成角的度数；（2）EF的长。

　　　　　　　　　  翰林汇

3、已知棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，E是AB的中点，求BD与CE所成的角。翰林汇

4、过锐角三角形ABC的垂心H作平面ABC的垂线,P为垂线上一点,APB=90^o,那么△BPC和△APC的形状如何?又若APB≠90^o,PA与BC是否垂直?为什么?翰林汇

5、夹在两个平行平面和间的异面直线AB和CD所成的角为45^o,它们在平面内的射影长分别为12cm和2cm.若AC=6cm,BD=8cm,AB,CD与平面所成的角的差是45^o.求异面直线AC和BD间的距离和它们所成角的度数.翰林汇

6、已知：矩形ABCD中,AB=45,直线EF//BC,交AB于E,交CD于F,且EB=28,将矩形AEFD沿直线EF折起,使AD和平面EBCF间的距离为15,求此时AD与BC间的距离.翰林汇

7、a、b是异面直线,它们所成角是60°.AB是a、b的公垂线,Aa,Bb,AB=1,另有C、D两点,Ca,Db,且DB=AC=10,求C、D两点间距离.

翰林汇

8、平行四边形ABCD的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC、BD所成的角.翰林汇

9、在边长a为的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中(如图所示),

(1)异面直线AB与CC₁间的距离为　　　 ;

(2)异面直线A₁D₁与BC₁所成角的度数为　　　　  ;

(3)若E,F分别为AA₁,AB的中点,则异面直线EF与BC₁所成角的大小

为　　　　　  ;

(4)把两两都为异面直线的三条直线称为一组,在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的12条棱所在直线中,满足条件的直线有　　　　组.

　　　　　　　　　　  翰林汇

10、已知空间四边形ABCD.

(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇

11、在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,求(1)A₁B与B₁D₁所成角;(2)AC与BD₁所成角.翰林汇

12、在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求AC₁与B₁D₁所成的角。

　　　　　　　　 翰林汇

13、已知AB，BC，CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点，P，Q，R满足PQ=2，，PR=3，求AC与BD所成的角。

翰林汇

14、在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，若AB=BC=3，A₁A=4，求A₁B和B₁C所成角的余弦值。

　　　　　　　　  翰林汇

15、若E是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱BC的中点，求A₁C与DE所成角的余弦值。

　　　　　　　　　 翰林汇

16、在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，若AB=a，BC=BB₁=b，求AC₁与B₁C所成的角。

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17、已知E，F，G，H顺次是空间四边形ABCD各边的中点。

　　　　　　　　 

（1）求证：EFGH为平行四边形；

（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四边形？

（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？

（4）如果AC=BD，且AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？

（5）若对角线BD=2，AC=4，求EG²＋HF²的值。翰林汇

18、在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知E为棱CD的中点，求AE和B₁C所成角的余弦值。

　　　　　　　 翰林汇

19、在空间四边形ABCD中，已知AD=1，，且AD⊥BC，对角线，，求AC和BD所成的角。翰林汇

20、在正四面体ABCD中，若E，F分别为棱AB，CD的中点，求AF与CE所成的角的正切值。

　　　　　　　　　　　　 翰林汇

21、完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求证：BD和AE是异面直线。

证明：假设__共面于g，则点A、E、B、D都在平面__内。

　　　QAÎa，DÎa，∴__Ìγ.QPÎa，∴PÎ__.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc

　　　∴__Ìg，__Ìg，这与____矛盾。∴BD、AE__________。

　　　　　　　　　　　　　  翰林汇

22、在长方体ABCD－A′B′C′D ′中，已知AB=a，BC=b，AA′=c(a＞b)，求异面直线D′B与AC所成角的余弦值。

翰林汇

23、已知a、b为异面直线,A、Ba.AA₁⊥b,BB₁⊥b,A₁、B₁为垂足,若AB=2,A₁B₁=1,求异面直线a、b所成的角.翰林汇

24、已知异面直线a，b互相垂直，它们的公垂线段PQ=h，一条长为定值m(m＞h)的线段AB两端分别在a，b 上滑动，求AB中点M的轨迹。翰林汇

25、已知两个全等的正方形ABCD和CDEF所在平面互相垂直。

（1）求BD与EC所成的角；

（2）若P，Q分别为两个正方形的中心，求BQ与EP所成角的余弦值。

　　　　　　　　  翰林汇

26、已知ABCD为矩形，E为半圆CED上一点，且平面ABCD⊥平面CDE.

（1）求证：DE是AD与BE的公垂线；

（2）若AD=DE=，求AD和BE所成角的大小。

　　　　　　　　　 翰林汇

27、完成下列证明：已知a∥b∥c，a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C，求证：a、b、c、d共面。

　　　　　　　　　　　　　　　

证明：∵a//b，∴___确定一个平面a，∵AÎa，BÎb.

　　  ∴A__a，B__a，又∵AÎd，BÎd，∴___Ìa.同理dÌ(b、c确定的平面)b.

　　　∵b、dÌ___，且b、dÌ__，bId=B，∴__与__重合，∴____共面。

说明：立几中证n条直线共面，一般可根据条件先确定一个平面(根据公理三及三推论)，然后再证其它直线也在这个平面内；也可先确定n个平面，再证这些平面重合。翰林汇

28、在底半径为r的圆柱中,O、O′分别为上下底面圆的圆心，OM和O′N′分别为上下底面圆的两条半径，若异面直线OM和O′N′的成角为60^o.求：异面直线MN′和OO′的距离。

空间直线解答题(参考答案)

　　

1、　arccos翰林汇

2、　(1)60^o；(2).翰林汇

3、　提示：在面ABCD中作BP∥CE交DC的延长线于P，连D₁P，在BD₁P中用余弦定理求得ÐD₁BP=arccos.翰林汇

4、　如图,H是垂心,PH是垂线,AH⊥BC,由三垂线定理得AP⊥BC,又AP⊥PB,故AP⊥平面PBC,从而AP⊥PC,△APC是直角三角形,同理△BPC也是直角三角形.由分析过程知PA⊥BC与否,与∠APB的大小无关,即PA⊥BC成立

　　　　　　　　　 翰林汇

5、　90^o,4或6.翰林汇

6、　25或39翰林汇

7、　提示：利用异面直线上两点间距离公式分类讨论：当∠DBE=60°时,CD=.

当∠DBE=120°时,CD=.翰林汇

8、　如图,

　　　　　　　　

折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a.

由余弦定理得BD²=a²＋4a²－a·2a=3a²,∴BD=.

∵AD²＋BD²=AB², ∴△ABD是直角三角形.

即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°.折起后∠ADB=∠CBD=90°.

如图,

　　　　　　　　　　

过A作AEBD,连结AC、CE、BE,四边形AEBD是矩形,BD⊥BE,DB⊥BC.

∴∠CBE是二面角A—BD—C的平面角.

∴∠CBE=90°,EC²=2a².∵DB⊥平面EBC,∴DB⊥EC.

∵AE⊥EC,AC²=AE²＋EC²=5a²,

由AE‖BD得∠CAE即为AC与BD所成的角.

在Rt△AEC中,cos∠CAE=.

于是AC与BD所成角为arccos.翰林汇

9、　(1)a　(2)45^o　(3)60^o　(4)8翰林汇

10、　(1)∵ABCD是空间四边形,

∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD,∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C,又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.

(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90^o.∴EFGH是矩形.

(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.

　　　　　

翰林汇

11、　

解(1)如图,连结BD,A₁D,∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体,∴DD₁平行且相等BB₁.∴DBB₁D₁为平行四边形,∴BD//B₁D₁.∴A₁B,BD,A₁D是全等的正方形的对角线.∴A₁B=BD=A₁D,△A₁BD是正三角形,∴∠A₁BD=60^o,∵∠A₁BD是锐角,∴∠A₁BD是异面直线A₁B与B₁D₁所成的角.∴A₁B与B₁D₁成角为60^o.

(2)连BD交AC于O,取DD₁ 中点E,连EO,EA,EC.

∵O为BD中点,∴OE//BD₁.∵∠EDA=90^o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90^o.

又∴∠EOA是异面直线AC与BD₁所成角,∴AC与BD成角90^o.

　　　　　　　　　　翰林汇

12、　90°翰林汇

13、　90°翰林汇

14、　翰林汇

15、　翰林汇

16、　90°翰林汇

17、　（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）10翰林汇

18、　翰林汇

19、　90°翰林汇

20、　翰林汇

21、　假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面g内。∵AÎa，DÎa，∴aÌg.∵PÎa，PÎg.∵PÎb，BÎb，PÎc，EÎc.∴bÌg，cÌg，这与a、b、c不共面矛盾。∴BD、AE是异面直线。

翰林汇

22、　

　　　　　　

解：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，则BE≠AC，∠D′BE（或其补角）即D′B和CD所的角。

　 ∵，，，

　　 ∴＝

　　 ∴D′B与AC所成角的余弦值为.翰林汇

23、　

解(如图)

　　　　　　 

过A作直线b′‖b, 在b′上取一点C,使AC=A₁B₁,则AA₁B₁C为平行四边形,∵A₁B₁⊥AA₁,∴AA₁B₁C为矩形,∴AC⊥B₁C,又∵AC⊥A₁B₁,A₁B₁⊥BB₁,∴AC⊥BB₁,∴AC⊥平面BB₁C,∴AC⊥BC.∴cos∠CAB=,∴∠CAB=60°,即a、b成60°角.翰林汇

24、　M点的轨迹是以PQ为中点T为圆心、半径为，并位于PQ的垂直平分面上的圆。翰林汇

25、　（1）60°；（2）.翰林汇

26、　（1）∵BC⊥面DEC，CE是BE在面DEC上的射影，而CE⊥DE，

　　 ∴BE⊥DE.又AD⊥面DEC，∴AD⊥DE，

　　 故DE是AD与BE的公垂线；

（2）60°.

翰林汇

27、　

　　∵a//b，∴a、b确定一个平面a，∵AÎa，BÎb.∴AÎa，BÎa.

　　又∵AÎd，BÎd，∴dÌa.同理dÌ(b、c确定的平面)b.

　　∵b、dÌa，且b、dÌb，b∩d=B，∴a与b重合，∴a、b、c、d共面。翰林汇

28、　d=r翰林汇