高中学生学科素质训练
新课程高二下学期数学
期中考试卷
一、选择题：本大题共10小题；每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．下列说法正确的是 （ ）
A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线
B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线
C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线
D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M
2．若a、b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β满足 （ ）
A．a//β且b//β B．a
β且b//β C．a⊥β且b⊥β D．aβ且b⊥β
3．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是（ ）
A．梯形 B．圆外切四边形 C．圆内接四边形 D．任意四边形
4．三棱锥成为正三棱锥的充分而不必要条件是 （ ）
A．各侧面与底面所成的角相等 B．各侧面是全等的等腰三角形
C．高通过底面外心，且底面是正三角形 D．四个面均为正三角形
5．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成30°角，在直线a上取AP=4，
则点P到直线b的距离为 （ ）
A．
B．4 C．2
D．或2
6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，
BF=4，CG=5，则DH等于 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，AC α，BCβ,∠ACF=30°,∠ACB=60°，
则cos∠BCF等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．正四棱锥的底面边长为3，体积为
，则它的相邻两个侧面所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．长方体的对角线长为2，则其全面积的最大值为 （ ）
A．
B． C．4 D．8
10．一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知球的体积为
，那么该三棱
柱的体积为 （ ）
A．16
B．24 C．48 D．96
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．若异面直线a、b所成的角为60°,P是空间一点,则过点P且与a、b所成的角都是40°
的直线的条数是 .
12．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为，
则AC与平面α所成角的大小是 .
13．球的半径为18，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这
个平面截球的截面面积为
.
14．三棱锥S—ABC中，SA⊥BC，SA=BC=a，SA与BC的距离为b，则三棱锥的体积为
.
三、解答题：本大题共6小题；共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分7分）已知AB是异面直线a、b的公垂线，a⊥平面α，b⊥平面β，
α∩β=c，求证：AB//c.
16．（本小题满分7分）已知α—AB—β是二面角，aα，bβ，a、b与AB都不垂直.
①求证：a与b必不垂直；
②若a与β、b与α所成的角都是45°，求a与b所成角的大小.
17．（本小题满分10分）已知四棱锥S—ABCD中，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，且
AB=SA=a，M、N分别是AB、SC的中点. ①求证：AB⊥MN；
②求证：MN是异面直线AB与SC的公垂线； ③求二面角B—SC—D的大小.
18．（本小题满分10分）已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC内
的射影，且在△ABC的高CD上，AB=a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC.
①证明：∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；
②当∠MDC=∠CVN时，证明：VC⊥平面AMB；
③若∠MDC=∠CVN=θ.（
，
求四面体MABC的体积.
19．（本小题满分10分）已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B. M、N分
别为A1B1、AB的中点.
①求证：平面AMC1//平面NB1C；
②求A1B与B1C所成的角的大小；
③若A1C1=AA1=1，∠A1C1B1=90°求三棱柱ABC—A1B1C1的体积.
20．（本小题满分10分）某企业要设计一个下部是圆柱形，上部是半球形的密闭容器，容积
为常量V，问当圆柱的底面半径与圆柱的高为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即
容器的表面积最小）.
高中学生学科素质训练
新课程高二下学期数学参考答案
期中考试卷
一、1.B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.C 9.D 10.C
二、11．2； 12. 30° 13. 162π 14. 
a2b
三、15．过AB、a作平面γ交平面α于直线d，过AB、b作平面δ交平面β于直线e，
∵a⊥平面α ∴a⊥d 又a⊥ABγ ∴AB//a 同理AB//e
∴d//e而c、eβ ∴d//c 故AB//C…………………………………………………………7分
16．①假设a⊥b，由于b是β内任意一条直线，则a⊥β 又α⊥β，∴a⊥AB 这和a与AB不垂直矛盾
故假设不成立，则a与b必不垂直……………………………………………………………………3分
②设a与b所成的角为θ，由
∴θ=60°
即a与b所成的角为60°………………………………………………………………………………7分
17．①连AC并取AC的中点O，连OM、ON，∵N为SC的中点，∴NO//SA 而SA⊥底面ABCD
∴NO⊥底面ABCD 又M为AB的中点，∴OM⊥AB 故MN⊥AB………………………………3分
②连结SM、CM，则SM=CM=
N为SC的中点，
∴MN⊥SC 又MN⊥AB（已证） 故MN是异面直线AB与SC的公垂线……………………6分
③在平面SBC内作BE⊥SC，E为垂足，连结DE. 在△EBC和△EDC中，BC=CD=a，CE=CE
∠BCE=∠DCE ∴△EBC≌△EDC 于是∠BEC=∠DEC=90° 即DE⊥SC 则∠BED为二面角
B—SC—D的平面角. 连结BD，在△BDE中，BD=a BE=DE=
，由余弦定理得
∴∠BED=120°
即二面角B—SC—D为120°…………………………………………………………………………10分
18．①由已知，CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB平面ABC ∴VN⊥AB，∴AB⊥平面VNC
又V、M、N、D都在VNC所在的平面内.所以DM与VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD
∴∠MDC为二面角M—AB—C的平面角……………………………………………………………4分
②由已知，∠MDC=∠CVN，在△VNC和△DMC中 ∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=90°，
∠DMC=∠VNC=90° 故有DM⊥VC又AB⊥VC ∴VC⊥平面AMB………………………7分
③由①②可知DM⊥AB，DM⊥VC且D∈AB，M∈VC ∴DM=h，又∠MDC=θ，在Rt△MDC中，CM=h·tanθ ∴V四面体MABC=V三棱锥C—ABM=·CM·S△ABM=h·tanθ·
…10分
19．①∵CN//C1M，AM//B1N ∴平面AMC1//平面NB1C………………………………………………2分
②∵B1C1=A1C1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1 而ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴C1M⊥平面
ABB1A1 ∴AM为AC1在平面ABB1A1内的射影 又AC1⊥A1B ∴A1B⊥AM 而AM//B1N
∴A1B⊥B1N 同理CN⊥平面ABB1A1 故A1B⊥B1C 即A1B与B1C所成的角为90°………6分
③当A1C1=A1A=1，∠A1C1B1=90°时，VABC—A1B1C1=S△A1B1C1·AA1=
………………………10分
20．设圆柱的底面半径为R，高为h，由题设得
πR3+πR2h=V ∴h=
………………3分
这时容器的表面积S=2πR2+2πRh+πR2=3πR2+2πR（）…………………………5分
=3πR2+
…………8分
当且仅当
，即R=
时，上式等号成立，这时h=.
故当圆柱的底面半径与高都等于时，容器的用料最省…………………………………………10分