高二文科数学下学期期末试题 2008.6
注意：本试卷满分150分，分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案按要求写在答题纸上.
Ⅰ卷（满分50分）
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案，答案涂在答题卡上.
1. 已知α、β是两个不重合的平面，l、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条件是 （ ）
A．l⊥α，m⊥β且l∥ m
B．l
α，mβ且l∥m
C．lα，mβ且l∥β、m∥β
D．l∥α，m∥β且l∥ m
2. 集合
中元素个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3. 若
的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ）
A.5
B
4. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（ ）
A．252
B．
5. 一个盒子装有11只球，球上分别标有号码1，2，3，…，11，若随机取出6只球，它们号码之和是奇数的概率是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
6. 如图，在斜三棱柱
中，
，
则
在平面
上的射影
必在（ ）
A、
内部 B、直线
上
C、直线
上 D、直线
上
7.已知函数
的图象如右图所示（其中 
是函数
的导函数），下面四个图象中
的图象大致是（ ）
8.如果
∥
，AB与AC是夹在平面与之间的两条线段，
且
，直线AB与平面所成的角为
，那么线段AC长的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
9. 若点P在曲线
上移动，经过点P的切线的倾斜角为
，则角的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10. 设
在[m,n]上可导, 且
, 则当
时,有 ( )
A. 
.
B.
C. 
.
D. 
Ⅱ卷（满分100分）
二、填空题 （本大题共4小题，每小题4分共16分）
11. 若
能被25整除，则a的最小正数值是___________ .
12.已知曲线C：
，直线
，且直线
与曲线C相切于点
，则直线的方程____________ ,切点坐标__________ ..
13. 某种产品有3只次品和6只正品，每次取出一只测试，直到3只次品全部测出为止，求第三只次品在第6次测试时被发现的不同的测试情况有_________种.
14．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买
吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
吨．
15. (1-x)
(1+x+x
)
的展开式中x
项的系数是__________,
各项系数和为__________
三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16、（12分）如图，在长方体
中，
，
，
、
分别为
、
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
．
17．（本小题满分12分）已知10件产品中有3件是次品.
（1）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
18. （本小题满分12分）已知
(1)当
时, 求证：
在
内是减函数;
(2)若
在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围
19．（本小题满分12分）省工商局于2007年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：
（1）甲喝2瓶合格的x饮料的概率；
（2）甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率(精确到0.01)．
|
∠ABC=60°，平面AA
（1）证明：BD⊥AA1；
（2）求二面角D—A
（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA
若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）设函数
是奇函数，它的图象记为曲线C，
是曲线C上的一点，以
为切点与曲线C相切的直线方程是：
．
（1）求函数的解析式；
（2）过与曲线C相切的直线除了外，还存在其它直线吗？如有，请再求出一条来，若没有请说明理由；
（3）是否存在这样的实数
，使过点
可以作三条直线与曲线C相切？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
08年高二下学期期末考试
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | A | C | C | B | A | D | C | D | B | C |
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11、4;
12、
;
13、7200； 14 、20 ； 15、-6;0
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）
16、（本小题满分12分）
证明：
侧面
，
侧面，
，……3分
在
中，
，则有
，
，
，
………6分
又
平面． …………………7分
（2）证明：连
、
，连
交
于
，
，
，
四边形
是平行四边 ……10分
…………11分
又
平面，
平面，
平面． …………14分
17、解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为
……3分
至少有一件是次品的概率为
……………………6分
（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为
…8分
由
整理得：
，……………………10分
∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分
答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为
为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分
18、解: (1) ∵
∴
∵
, ∴
又∵二次函数
的图象开口向上,∴在
内
, 故
在内是减函数.
(2)设极值点为
则
当
时, ∵
∴在
内
在
内
即在内是增函数, 在内是减函数.
当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点.
当
时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点.
当
时, 由(1)知在内没有极值点.
19、解⑴记“第一瓶x饮料合格”为事件A1，“第二瓶x饮料合格”为事件A2，A1与A2是相互独立事件，“甲喝2瓶x饮料都合格就是事件A1，A2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A1·A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8×0.8=0.64
答：甲喝2瓶x饮料都合格的概率为0.64………………………6分
⑵记“一人喝合格的2瓶x饮料”为事件A，三人喝6瓶x饮料且限定每人2瓶相当于3次独立重复试验.
根据n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，3人喝6瓶x饮料只有1人喝2瓶不合格的概率：P3(2)＝C32·0.642×(1－0.64)3－2＝3×0.642×0.36=0.44
20、（本小题满分13分）
．解：
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
连接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA
平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（
，0，0），C（0，1，0），
D（－，0，0），A1（0，0，）……………………2分
（Ⅰ）由于
, 
则
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA
∴平面AA
,设
⊥平面AA1D
则
得到
……………………6分
所以二面角D—A
…………8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA
设
则
得
……………………9分
设
则
设
得到
………………10分
又因为
平面DA
则
·
即点P在C
法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA
|
又底面为菱形，所以AC⊥BD
……………………4分
（Ⅱ）在△AA1O中，A
∴AO=AA1·cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD
为菱形，所以O也是BD中点.
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，
则AA1⊥DE,
则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角 ……………………6分
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=
DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D—A……………8分
（Ⅲ）存在这样的点P
连接B
ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形.∴A1D//B
在C
因B1BCC1，……………………12分
∴BB1CP, ∴四边形BB1CP为平行四边形
则BP//B1C，∴BP//A1D，∴BP//平面DA
21．解：（1）
，
由是奇函数知
对一切实数恒成立，从而
.
∴ 
，
点P在上则有，
，即
，
又
，
，
解得
，
，
所以 
，
.
（2）设存在其它切线
过点P，并设并且
.
则
，即
，
即
，
（舍去），或
，
切点为
，可得切线方程为
.
（3）同（2），切点为
，则有
则
，即
，
，
，
三条直线与曲线C相切，则函数必有三个不同的零点，
也即
的极大值为正，极小值为负.
由
知，
即
，
，
即存在
使过
点可以作三条直线与曲线C相切.