湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题（三）
2002.6
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数y=3sin(
)的周期、振幅依次是
A.4π，3 B.4π，-3 C.π，3 D.π，-3
2.A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且PA=PB，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为
A.2x-y-1=0 B.x+y-5=0
C.2x+y-7=0 D.2y-x-4=0
3.已知集合A={1，2，3}，B={-1，0，1}，满足条件f(3)=f(1)+f(2)的映射f:A→B的个数是
A.2 B.4 C.6 D.7
4.若直线a⊥b，且a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是
A.b
α
B.b∥α
C.bα或b∥α
D.b与α相交或b∥α或bα都有可能
5.函数y=tgx·cosx(0≤x＜
，且x≠
的图象是
6.(理)在极坐标系中，圆锥曲线ρsin2θ=4cosθ绕极点逆时针旋转所得曲线的极坐标方程是
A.ρcos2θ=4sinθ B.ρcos2θ=-4sinθ
C.ρcos2θ=8sinθ D.ρsin2θ=-4cosθ
(文)直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧，则这两段弧长之差的绝对值为
A.π
B.
π
C. D.2π
7.已知奇函数f(x)，g(x)，f(x)＞0的解集为（a2，b)，g(x)＞0的解集为（
)，则f(x)g(x)＞0的解集是
A.（)
B.(-b2，-a2)
C.(a2，
D.( )∪(-b2，-a2)
8.等比数列{an}中，a1+a2+a3=16，a1+a2+…+a6=14，Sn=a1+a2+…+an，则
=
A.
B.
C.128 D.32
9.已知圆柱的上下两底面圆都在球面上，底面一条直径的两个端点间的球面距离是球大圆周长的
，圆柱的母线长为l，则这个球的半径长为
A.
l B.l C.
l D.2l
10.已知双曲线
的左支上有一点M到右焦点F1的距离为18，N是MF1的中点，O为坐标原点，则ON等于
A.4 B.2 C.1
D.
11.函数f1(x)=
的图象分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图象关于直线x=0的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题：
①D1
D2;②D1∪D3=D2∪D4;③D4D3;④D1∩D3=D2∩D4.
其中，正确命题的序号是
A.①，③ B.①，② C.③，④ D.②，④
12.（理）设n满足C
+C
+2C
+…+nC
＜450的最大自然数，则n等于
A.4 B.5 C.7 D.6
（文）设S= C+C+2C+…+nC，则S等于
A.n·2n-1 B.n·2n-1-1 C.n2n-1+1 D.n2n
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填写在题中横线上）
13.某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则至少要购买_______张邮票.
14.抛物线的准线为y轴，焦点运动的轨迹为y2-4x2+8y=0(y≠0)，则其顶点运动的轨迹方程为_______.
15.关于复数z=cos
］有下列命题：
①若z=
，则α=2π;
②将复数z在复平面内对应的向量
逆时针旋转90°得到向量
，则对应的复数是-sin
］;
③复数z在复平面内对应的轨迹是单位圆；
④复数z2的辐角主值是α.
其中，正确命题的序号是_______.
（把你认为正确的命题的序号都填上）.
16.如图，在正方形ABCD—A1B1C1D1中，选出两条棱和两条面的对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面的对角线AB1，那么另外三条线段可以是_______（只需写出一种情况即可）.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=2，f(
.
(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值.
(Ⅱ)若α-β≠kπ，k∈Z，且f(α)=f(β)，求tan(α+β)的值.
18.（本小题满分12分）
已知数列{an}为等差数列，公差为d，{bn}为等比数列，公式为q，且d=q=2，b3+1=a10=5，设cn=anbn.
(Ⅰ)求数列{cn}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{cn}的前n项和为Sn，求
的值.
19.（本小题满分12分）
如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点.
（Ⅰ）求证：BF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；
（Ⅲ）(理）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小.
20.（本小题满分12分）
某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售.销售有淡季与旺季之分.标价越高，购买人数越少.我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现：
①购买人数是羊毛衫标价的一次函数；
②旺季的最高价格是淡季最高价格的
倍；
③旺季商场以140元/件价格销售时，商场能获取最大利润.
问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？
21.（本小题满分12分）
如图，A，B是两个定点，且AB=2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且B点到直线k的距离为3.
（Ⅰ）求证：点P到点B的距离与点P到直线k的距离之比为定值；
（Ⅱ）（理）若P点到A，B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标；
（Ⅲ）若PA-PB=1，求cosAPB的值.
22.（本小题满分14分）
定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：（Ⅰ)对任意x，y∈(-1，1)都有f(x)+f(y)=f(
);(Ⅱ)当x∈(-1，0)时，有f(x)＞0.
(Ⅰ)判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由.
（Ⅱ）判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
（Ⅲ）(理）求证：
（文）求证：
湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题（三）答案
一、1.A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.(理)A (文)B 7.C 8.B 9.A 10.A 11.D 12.C
二、13.8 14.y2-16x2+8y=0(y≠0) 15.①②
16.BC1，CD，A1D1或CC1，BD，A1D1或BC，C1D1，A1D或BC，DD1，A1C1(任选填一种)
三、17.解：(Ⅰ)由f(0)=2a=2,∴a=1,f(
∴b=2
∴f(x)=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=
∴f(x)最大值为+1，最小值为1-.6分
(Ⅱ)若f(α)=f(β),则sin(2α+
)=sin(2β+),
∴2α+=2kπ+2β+或2α+=2kπ+π-(2β+),即α-β=kπ(舍去)或α+β=
kπ+,k∈Z,
∴tan(α+β)=tan(kπ+)=1. 12分
18.解：(Ⅰ)由已知，有
解得b1=1,a1=-13. 2分
从而an=-13+(n-1)·2=2n-15,bn=1×2n-1=2n-1,
cn=anbn=(2n-15)2n-1 5分
(Ⅱ)∵Sn=a1b1+a2b2+…+anbn, ①
∴aSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1. ②7分
①-②得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1=a1b1+d·
-anbn+1
=-13+2·
-(2n-15)·2n=-［(2n-17)·2n+17］,
∴Sn=(2n-17)·2n+17.10分
∴
19.解：(Ⅰ)取CD中点G，连AG，FG，则有FG AB 
.
∴AG BF,又△ACD为正三角形，
∴AG⊥CD，又DE⊥平面ACD，
∴FG⊥平面ACD.
∴FG⊥AG.∴AG⊥平面CDE
∴BF⊥平面CED.4分
(Ⅱ)VABCDE=VB—ACD+VB—CDE=
(Ⅲ)由(1)知AB 
DE,延长DA，EB交于P，连PC，则可证得A，B分别为PD，
PE中点，∴PC∥BF∥AG，
∴PC⊥平面CDE，∴∠DCE为平面BCE和平面ACD所成二面角的平面角，又∠DCE=45°,即所成锐二面角为45°.12分
20.解：设羊毛衫出售价格为x元/件，购买人数为y人，最高价格为x0,则存在
a,b使y=ax+b.
由条件知：a＜0且0=ax0+b
∴x0=-
.因此y=a(x-x0)=-a(x0-x),商场利润s=y(x-100)=-a(x0-x)(x-100)≤-a(
当且仅当x0-x=x-100,即x=50+
时“=”成立. 6分
因此商场定价x=50+时能获最大利润，设旺、淡季的最高价格分别为a,b.淡季能获最大利润的价格为c，则140=50+
,a=180, 9分
∴b=a=120.∴c=50+
=110(元/件)12分
21.(Ⅰ)证明：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B的坐标分别为(-1，0)，(1，0).
∵l为MB的垂直平分线，
∴PM=PB，PA+PB=PA+PM=MA=4.
∴P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为
根据椭圆的定义可知，点P到点B的距离与点P到直线k:x=4(恰为椭圆的右准线)的距离之比为离心率e=.4分
(Ⅱ)解：m=PA·PB≤(
=4,
当且仅当PA=PB时，m最大，这时P点的坐标为(0，
)或(0，-).8分
(Ⅲ)解：由PA-PB=1及PA+PB=4，得
PA=
，PB=.
又AB=2，所以△APB为直角三角形，∠ABP=90°.故cosAPB=
.
22.解：(Ⅰ)x,y∈(-1,1).
f(x)+f(y)=f(),
令x=y=0,得f(0)=0.
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)在(-1，1)上是奇函数.4分
(Ⅱ)设-1＜x1＜x2＜0,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
),
∵x1-x2＜0,1-x1x2＞0,
∴-1＜＜0.
x∈(-1,0)时f(x)＞0
∴f(x1)-f(x2)＞0,从而f(x)在(-1，0)上是单调减函数. 8分
(Ⅲ)(理)∵f(
)
