数学能力专题训练三（综合题解法）
要点：所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题.
如下,我们从八个方面举例,对综合题的解题策略作一探讨.
一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.
1.已知ΔABC的外接圆半径为R,并且有2R(sin2A-sin2C)=(
a-b)sinB,求ΔABC的面积的最大值.
2.是否存在实数a(a>0且a≠1)，使方程loga(4x2-4ax)-2loga(2x-a+1)=0有解?若存在,求出a的取值范围和方程的解;若不存在,说明理由.
3.设z是虚数，ω=z+
是实数，且-1＜ω＜ 2.(1)求z的值及z的实部的取值范围; (2)设
,求证:u是纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.
4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,D为AB的中点,异面直线BC1与AB1互相垂直.(1)求证:AB1⊥平面A1CD;(2)若CC1与面ABB1A1的距离为1,A1D=2
,AB1=2
,求三棱锥A1-ACD的体积.
二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁.
5.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,当θ∈[0,
]时,是否存在这样的实数m,使f(4m-2mcosθ)>f(3-cos2θ)对所有θ∈[0,]均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m;若不存在,说明理由.
6.已知椭圆
,过其左焦点F1且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次为A、B、C、D,记f(m)=AB-CD.(1)求f(m)的解析式;(2)求 f(m)的最大值和最小值.
7.如图,在直角梯形ABCD中,AD=3,AB=4,BC=,曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等.(1)适当建立坐标系,求曲线DE的方程;(2)过点C能否作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦?若能,求出弦所在的直线方程;若不能,说明理由.
三、 回到定义和图形中来.
8.已知椭圆的一个焦点和一条准线与抛物线y2=8(x+2)的焦点和准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点的轨迹C;(2)过点A（-4，0）、斜率为k的直线l与C交于第一象限内的两点P、Q，定点B（0，8）与PQ的中点M的连线交x轴于点N，若点N位于点A左侧，求k的取值范围.
9.已知复数z1=+I,z2=r(cosθ+isinθ)(r>0,0<θ<π),z3=z1z2.若z1-z2=r+1,求r和θ的取值范围.
10.已知f(θ)=
(1)将f(θ)表示为关于cosθ的多项式;(2)试求曲线y=kcosθ+k与曲线y=f(θ)至少有一个公共点时k的取值范围.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N).(1)试求a1,a2,a3;;(2)写出数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
四、以简单的、特殊的情况为突破口.
12.设an=
求证: (1)an=1+
(2)
(3)
13.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在轴上,ΔABC的重心在抛物线的焦点上,且三个顶点均在抛物线上,若BC所在的直线方程为 4x-y-20=0,(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在定点M,使过点M的动直线l与C交于P,Q,且∠POQ恒为直角?证明你的结论.
五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考.
14.(1)已知a、b、c是ΔABC的三边,求证:
(2)已知f(t)=log2t,
,对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x2+mx+4>2m+4x都能成立,求x的取值范围.
15.如图,线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A,B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物线.(1)求抛物线方程;(2)若tg∠AOB=--1,求m的取值范围.
16.若对一切实数p,p<2,不等式(log2x)2+plog2x+1>2log2x+p恒成立,求实数x的取值范围.
17.直线l: 5x—7y—1=0交以坐标轴为对称轴的双曲线C于A、B两点,定点P(5,14)与A,B构成以AB为斜边的等腰直角三角形,求双曲线C的方程.
六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.
18.如图，B是半圆O上的动点，OB=1，OA=2，△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，试求O，C两点之间距离的最大值。
19．复数z1,z2对应于复平面内的点A，B，且满足条件：（1）z1=riz2(r∈R且r≠0);（2）z1+z2+z1-z2=10,求△AOB面积的最大值.
七、培养整体意识，把握整体结构。
20．求同时满足下列两个条件的复数z: (1)
(2)z的实部和虚部都是整数。
21．设函数
试证明：
(1)
存在两个实数m1,m2(m1<m2)，满足
(2)
(1－m1)(1－m2)=－a2;
(3)
八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论.
22.已知ΔABC中，a,b,c三边成等差数列。
(1) 证明：
(2)求
的值；
(2) 求cosA+2cosB+cosC的值；(4)求cosA+cosC－cosAcosC+
sinAsinC的值；
23.已知动点P与双曲线
的两个焦点所连线段的和为定长,且这两条线段夹角的余弦值之最小值是
.(1)求动点P的轨迹方程;(2)在x轴的正半轴上求一点Q,使点Q与这轨迹上的点的最近距离为1.
24.已知ΔABC三个内角A,B,C满足A+C=2B,设
x=cos
,f(x)=cosB(
.(1)试求f(x)的解析式及其定义域;(2)在定义域内讨论这个函数的单调性,并加以证明;(3)求这个函数的值域.
25.(1)已知a>0,a≠1,k∈R,求函数y=lg(ax-k•2x)的定义域;
(2)已知F(x)=2
若方程F(x)=0有解,求k的取值范围.