长郡中学高三第五次月考
数 学 试 卷（理）
时量：120分钟 满分：150分 2006.01.11-12
一、选择题（每题的答案是唯一的。每题5分，共50分）：
1、 设f：x→x2是集合A到集合B的映射，若B＝｛1,2｝，则A∩B等于（ ）
（A）Φ （B）｛1｝ （C）Φ或｛2｝ （D）Φ或｛1｝
2、
已知关于x的不等式
的解集是[-1，0）则a+b=（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．3
3、 函数
的图象经过四个象限的充要条件是（ ）
A、
且
B、
且
C、
且
D、
4、
若奇函数
在R上是增函数，那么
的大致图像是 （ ）
5、
若向量
，则数列
（ ）
A、是等差数列不是等比数列 B、是等比数列不是等差数列 C、是等差数列也是等比数列 D、既不是等差数列也不是等比数列
6、 已知平面
、
都垂直于平面
，且
给出下列四个命题：
①若
；②若
；③若
；④若
. 其中真命题的个数为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7、 若
与
的展开式中含有
项的系数相等，则实数
∈（ ）
（A）. 
（B）
. （C）.
（D）.
8、 △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosC+ccosA的值为 (
) (A)b. (B)
. (C)2cosB. (D)2sinB.
9、 已知以
为自变量的目标函数
的可行域如图阴影部分（含边界），若使
取最大值时的最优解有无穷多个，则k的值为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
10、 点P在直径为
的球面上，过P作两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这3条弦长之和的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D． 6
二、填空题（每题4分，共20分）
11、
如果复数
的实部和虚部互为相反数，则b=_______
12、
已知f ( x )是可导的偶函数，且 
，则曲线y = f ( x )在（–1，2）处的切线方程是______________
13、
由正数组成的等比数列
中，已知
，则
等于________
14、
A和B分别在圆
和双曲线
上运动，则AB的最小值为_____
15、
对于函数
，给出下列四个命题：
①存在
；
②存在
恒成立；
③存在
，使函数
的图像关于y轴对称；
④函数
的图象关于点
对称；
其中正确命题的序号是
高三第五次月考数学试卷（理科）
 | |||||
 | |||||
| |||||
| |||||
|
,且
；
.数学（理）答案
一、选择：DCDCAABAAB
二、填空：0；y = 4x + 6.；11；
；①③④
三、解答：
16、解：（1）∵
=（sinB，1-cosB)
, 且与向量
（2，0）所成角为
∴
∴tan
6’
（2）：由（1）可得∴
………8’
∵
∴
………………10’
∴
当且仅当
…………………………12’
17、解：（Ⅰ）当
…2分
两边同除以
，…5分即
成立，
∴
为首项，d=4为公差的等差数列. …………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
……9分
∴
………10分设
是数列
的第t项，则
解得，t=11∈N*，………13分∴是数列的第11项.…………14分
18、解：（1）A中2张钱币取1张，有2种情况， B中3张钱币取1张，有3种情况， ∴互换一次有2´3 = 6种情况， 其中10元币恰是一张的情况有3种， ∴A袋中10元钱币恰是一张的概率为P1
=
.
（2）列表：
| ξ | 10元 | 15元 | 20元 |
| P |
|
|
|
Eξ= 
´10 + 
´15 + 
´20 = 
.答略
19、解法一：(1)∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，∴CD⊥BD.在直角梯形
ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6.取BC的中点F，连结PF，则AF∥CD.
∴异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF 在Δ
PAF中，AF=PA=PF= ∴∠PAF=60°.
(2)连结AC交BD于G，连结EG，
PC∥EG.又EG平面EBD，PC平面EBD ∴PC∥平面EBD.
(3)∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.作AH⊥BE，垂足为H，连结DH，则DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.在ΔABE中，BE=
 |
解法二：(1)建立如图所示的直角坐标系B—xyz.设BC=a,则A(0,3,0),
P(0,0,3),D(3,3,0)
C(a,0,0),
20、解：（Ⅰ）设P点的坐标为(x，y)，则
，
，
又
，故
，
． 由题知向量
与向量
平行，故
(y + a) = ax． 又向量
与向量
平行，故y – a = 2
． 两方程联立消去参数，得点P (x，y)的轨迹方程是 (y + a)(y
– a) = 2a2x2，即y2 – a2 = 2a2x2． （6分）
（Ⅱ）∵
，故点P的轨迹方程为2y2 – 2x2
= 1，
此时点E (0，1)为双曲线的焦点． ①若直线l的斜率不存在，其方程为x = 0，l与双曲线交于
、
，此时
． （8分）
②若直线l的斜率存在，设其方程为y = kx + 1，代入2y2 – 2x2 = 1化简得 2(k2 – 1) x2 + 4kx + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点，
∴△=
(4k)2 – 8 (k2 – 1) > 0且k2 – 1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (x1，y1)、N (x2，y2)，则x1 + x2 =
，x1x2 =
． （10分）
此时
= x1x2 + k2x1x2
= (k2 + 1) x1x2 =
．
当– 1 < k < 1时，k2 – 1 < 0，故
≤
；
当k > 1或k < – 1时，k2 – 1 > 0，故
．
综上所述，
的取值范围是
∪
． （14分）
21、(1)解:
∵
且
∴
,
∵
且
∴
∵
且
∴
…………………………
且
∴
于是
(2)证明: 
<3
(3)证明: ∵
当
≥4时,
=
∴