2006年1月高三数学

2006年湖北省重点中学高考数学模拟试题

命题人：孝感一中　梅建军

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（理）复数（m、A、B∈R），且A+B=0，则m的值是　　　　　　（　 ）

　　A． 　　　　　 B．　　　　　　 C．－　　　　　　　 D．2

（文）已知集合，则能使成立的实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

A．　　 B．　  C．　　　 D．

2．函数的最小正周期是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A .2π　　　　　　  B.π　　　　　　　 C．　　　　　　　  D.

3．不等式组所表示的平面区域图形是　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　　A．第一象限内的三角形　　　　　B．四边形

C．第三象限内的三角形　　　 　 D．以上都不对

4．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

5．已知在上不是单调增函数，则的范围　　　　　（　　）

　　A．或 　 B．或　　C．　D．

6．（理）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，

n维向量可用（x₁，x₂，x₃，x₄，…,x_n）表示.设a=(a₁, a₂, a₃, a₄，…, a_n)，b=（b₁, b₂, b₃, b₄,…,b_n），规定向量a与b夹角θ的余弦为.　

当a=(1, 1,1,1…,1)，b=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cosθ=　　　　　　　 （　　）

　　A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　 D．

（文）、，、、是共起点的向量，、不共线，，则、、 的终点共线的充分必要条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　  )

A．　　B．　　　　 C．　　　　　D．

7．把函数的图象向左平移m个单位, 所得图象关于y轴对称, 则m的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　  )

A. 　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　　 D.

8．已知关于x的方程：在区间（3，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）

　　A． 　 B．） 　C．　　D．

9．在等差数列中，若，则的值为（ ）

A．14　　　　　  B．15　　　　　  C．16　　　　　　  D．17

10．下面四个命题：

　　①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；

②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；

③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；

其中正确命题的序号是

　　A．①② 　　　　  B．②③　 　　　　C．③④ 　　　　　  D．②④

11．（理）已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁、F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个交点，若，则e的值为　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．　　 　　B．　　　　 　　C．　 　　　　　　D．

（文）与双曲线有共同的渐近线，且经过点（－3，）的双曲线方程是 （　　）

A．　　　B．　　 C．　　　D．

12.在数列中，，则等于　　　　　　　  （　 ）

A.12　　　　　B.14　　　　 　C.20　　　　　　  　D.22

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．若指数函数的部分对应值如下表：

	-2	0	2
	0.69	1	1.44

则不等式的解集为　　　　　　   

14．若圆锥曲线的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．

15．若（），则＝　　　　 （用数字作答）。

16．设函数的定义域为，若存在常数，使≤对一切实数均成立，则称为函数。给出下列函数：

①；

②；

③=；

④；

⑤是R上的奇函数，且满足对一切实数、均有.

其中是函数的序号为　　　　　。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）设向量=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)， (t∈R).

(1)求；

(2)求u的模的最小值.

18．（本小题满分12分）

（理）某系统是由四个整流二极管（串、并）联结而成，已知每个二极管的可靠度为0.8

（即正常工作时），若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计至少两种不同的联结方式，并说明理由．　　

（文）如图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。若甲向东、向西行走的概率均为，向南、向北行走的概率分别为和p，乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q

（1）求p和q的值；

（2）设至少经过t分钟，甲、乙两人能首次相遇，试确定t的值，并求t分钟时，甲

乙两人相遇的概率.

19．（本小题满分12分）

（理）已知函数、对任意实数、分别满足

①且；②且，为正整数

 （1）求数列、的通项公式；

 （2）设，求数列的前项和.

（文）已知等比数列，，

（1）求通项；

（2）若，数列的前项的和为，且，求的值.

20．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，

∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

　 （1）证明PA⊥平面ABCD；

　 （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

　 （3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

21．（本小题满分12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，

－2），点C满足、

　　（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：.

22．（本小题满分14分）

（理）已知函数

（1）求函数的最大值；

（2）当时，求证.

（文）设函数

　 （1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；

　 （2）当x∈[a+1, a+2]时，不等，求a的取值范围.

湖北省2006年高考数学模拟试题参考答案

一、　　　　  选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	C	A	A	A	D	B	C	C	D	A	B

1、（理）C　

∵，∴

（文）C　

2、C　

3、A　 作出其可行域知选A

4、A　

5、A　 恒成立

又因为不恒小于0,故b的范围为或　

6、（理）D　

（文）D　　设、、的终点为A,B,C, 即A,B,C三点共线。

7、B　 ，∴m可以为

8、C　 ，∴

9、C　　

10、D　　a平行于b所在的平面时，a,b可能异面，故①错；直线a、b不相交时a,b可能平行，故③错，由此排除A,B,C,选D

11、（理）A　设，则

（文）A　　设双曲线为，∴，故选A

12、B　　

二、　　　　  填空题

13、(1,2)　

，

∴

14、

∵，又曲线的焦距与k无关，故焦点坐标为

15、2003　　

令知，又

∴

＝

16、①②④⑤　

令知③不是F函数，其它的可以证明是F函数

三、　　　　  解答题

17、解：(1)=cos23°cos68°+cos67°cos22°

=cos68°cos23°+sin68°sin23°=cos45°=……………………………6分

(2)

当t=－时，=.　　　 ……………………………………………12分

18、（理）解：方式一：

　　　　 

系统可靠度………………………………………………6分

　　　　方式二：

　

系统可靠度…………………12分

另外：

　　 

　

（文）（1）……（4分）

　 （2）t=2甲、乙两人可以相遇（如图，在C、D、E三处相遇）　 …………5分

设在C、D、E三处相遇的概率分别为P_C、P_D、P_E，则：

P_C=　　………………7分

P_D=　…………………9分

P_E=……………………11分

P_C+P_D+P_E=即所求的概率为　　　　　　　　　　　　  ………12分

19、（理）解答：（1）由，，知成等比数列，

∴　　　　　　  …………………………………………………3分

由②中令，，得，知成等差数列，

，即　　　　　　　  …………………6分

（2）　　　　　　　　　　　 ……………………9分

 　　　　　　　　 ………………12分

（文）解答：（1），

　　　　　　　　　　　 …………………………5分

（2）　　

是以为首项，2为公差的等差数列，

，或（舍去）　　　　　 ……12分

20、证明： （Ⅰ） 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²　 知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以

从而  　……………7分

（Ⅲ）解法一　以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

　　　 令 　得

解得　　　即 时，

亦即，F是PC的中点时，、、共面.

又　BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC……………12分

解法二  当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

证法一　取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.　①

由　 知E是MD的中点.

连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

所以　BM//OE.　②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又　BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

证法二因为　

　　　　 

所以　、、共面.

又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

21、解答：（1）解：设

即点C的轨迹方程为x+y=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……4分

　　 

22、

（文）解答：（1）∵f′(x)=－x²+4ax－3a²=－(x－3a)(x－a),由f′(x)>0得：a<x<3a

由f′(x)<0得，x<a或x>3a，

则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a），单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞）

列表如下：

x	(－∞，a)	a	(a, 3a)	3a	(3a,+ ∞)
f′(x)	—	0	+	0	—
f(x)		－a3+b		b

∴函数f(x)的极大值为b，极小值为－a³+b　　 …………………………7分

　 （2）上单调递

减，因此

　　∵不等式f′(x)≤a恒成立，

　　∴  即a的取值范围是…………14分