江苏省苏州市部分重点中学2006届高三期中考试试卷
数 学 2005.11
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)已知平面向量
，
，且
，则
的值为 ( )
A．
B．
C．1 D．4
(2)已知集合
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
(3)已知函数
，则下列命题正确的是 ( )
A．
是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数
C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数
(4)设等差数列
的前
项和为
，若
，则
等于 ( )
A．18 B．36 C．45 D．60
(5)函数
的反函数 ( )
A．在
上单调递增 B．在上单调递减
C．在
上单调递增 D．在上单调递减
(6)设
均为非空集合，且满足
，则下列各式中错误的是 ( )
A．
B．
C．
D．
(7)命题
：
是
的充分不必要条件；
命题
：在
中，如果
，那么为直角三角形．则 ( )
A．“或”为假 B．“且”为真 C．假真 D．真假
(8)设函数
，则当
时，
的值应为 ( )
A．
B．
C．
中的较小数 D．中的较大数
(9)函数
的图象的大致形状是 ( )
A B C D
(10)在中，
，则
边上的高为 ( )
A．
B．
C．1 D．
(11)已知函数
为奇函数，函数
为偶函数，且
，则
＝ ( )
A．2 B．
C．4 D．
(12)为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格
与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 价格(元/担) | 68 | 78 | 67 | 71 | 72 | 70 |
则7月份该产品的市场收购价格应为 ( )
A．69元 B．70元 C．71元 D．72元
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应的位置上．
(13) 若
，则
▲ ．
(14) 函数
在区间
上的最大值为
▲ ．
(15) 已知平面向量
，若
，则实数
▲ ．
(16) 已知集合
，
，若
，则实数的取值范围是
▲ ．
(17) 已知
分别是关于的二次方程
的两实根的等差中项和等比中项，则
满足的关系式为
▲ ．
(18) 若
为
的各位数字之和
．如：因为
，所以
．记
，
，……，
，
，则
＝
▲ ．
三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(19) (本小题满分12分)
设函数
，其中向量
，
．
(Ⅰ)求函数的单调减区间；
(Ⅱ)若
，求函数的值域；
(Ⅲ)若函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象，求实数
的值．
(20) (本小题满分12分)
在中，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)当的面积最大时，求
的大小．
(21) (本小题满分14分)
设函数
．
(Ⅰ)若
，证明函数有两个不同的极值点
，并且
；
(Ⅱ)若
，且当
时，
恒成立，求的取值范围．
(22) (本小题满分14分)
某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：
| 方案 | 类 别 | 基本费用 | 超时费用 |
| 甲 | 包月制 | 70元 | |
| 乙 | 有限包月制（限60小时） | 50元 | 0.05元/分钟（无上限） |
| 丙 | 有限包月制（限30小时） | 30元 | 0.05元/分钟（无上限） |
假定每月初可以和电信部门约定上网方案．
(Ⅰ)若某用户每月上网时间为66小时，应选择 ▲ 方案最合算；
(Ⅱ)王先生因工作需要在家上网，所在公司预测其一年内每月的上网时间
(小时)与月份的函数关系为
．若公司能报销王先生全年上网费用，问公司最少会为此花费多少元？
(Ⅲ)一年后，因公司业务变化，王先生每月的上网时间(小时)与月份的函数关系为
．假设王先生退休前一直从事此项业务，公司在花费尽量少的前提下，除为其报销每月的基本费用外，对于所有的超时费用，公司考虑一次性给予补贴元，试确定最合理的的值，并说明理由．
(23) (本小题满分14分)
已知函数
，并且
，
，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)是否存在各项均不为零的数列，满足
(为数列的前项和)．若有，写出数列的一个通项公式
，并说明满足条件的数列是否唯一确定；若无，请说明理由．
江苏省苏州市部分重点中学2006届高三期中考试试卷
数学参考答案及评分标准
说明：
1.本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．
一．选择题：每小题5分，满分60分．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | A | B | B | C | D | C | D | C | D | A | B | C |
二．填空题：每小题4分，满分24分．
(13)
(14)3 (15)3或
(16)
(17)
(18)11
三．解答题：
(19)本小题满分12分．
解：(Ⅰ)
……………………………………………………………1分
．……………………………………………………………2分
令 
，…………………………………………3分
得 
．
因此，函数的单调减区间为
．………………………5分
(Ⅱ)当时，
，………………………………………………6分
∴ 
．……………………………………………………………7分
因此，函数的值域为
．……………………………………………………8分
(Ⅲ)函数的图象按向量平移后得到的图象对应的函数是
．……………………………………10分
令 
，得 
．…………………………………12分
(20)本小题满分12分．
解：(Ⅰ)由已知得
……………………………………………………………3分
因此，
．……………………………………………………………… 4分
(Ⅱ)
，…………………………………………………………6分
………………………………………………………………8分
．…………………………………………………10分
（当且仅当
时，取等号）…………………………………………11分
当的面积取最大值时，
，
．………………12分
(21)本小题满分14分．
解：(Ⅰ)当时，
．
．……………………………………………………………1分
∵ 
，
∴ 方程
有两个不等的实数根．…………………………………………3分
不妨设
，则 
．
当
时，
；当
时，
；当
时，．
∴ 
是的极大值点，
是的极小值点．……………………………………4分
并且，
．
因此，函数有两个不同的极值点，并且（当且仅当
时取等号）．…………………………………………………………………………………7分
(Ⅱ)当时，
．
．………………………………………………8分
①若
，则在
上增函数，在
上为减函数，在
上为增函数．
在
上的最大值为
与
中的较大者．
而
，
．
由在上恒成立，得
……………………………………………………………………………9分
即
．……………………………………………………………………………11分
②若
，则在
上为增函数．
在上的最大值为
．
∵ ，∴ 
．
∴
．
因此，不可能．…………………………………………………………………13分
综上所述，的取值范围是
．…………………………………………………14分
(22)本小题满分14分．
解：(Ⅰ) 乙 ．……………………………………………………………………………2分
(Ⅱ)当
时，选择丙方案合算；
当
时，由
，得
，此时选择丙方案合算；
当
时，选择乙方案合算；
当
时，由
，得
，此时选择乙方案合算；
当
时，选择甲方案合算．
综上可得：当
，选择丙方案合算；……………………………………3分
当
时，选择乙方案合算；……………………………………………4分
当
时，选择甲方案合算．……………………………………………5分
∵
，∴
是首项为
，公差为
的等差数列，且每月上网时间逐月递增．
令
，得
．
∴前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．……………………7分
此时，一年的上网总费用为
．
答：一年内公司最少会为王先生花费上网费741元．……………………………………9分
(Ⅲ)由
知，
，且
是递减数列，
∴选择丙方案合算．……………………………………………………………………10分
若上网个月，王先生的超时总费用为
．……………………………………………13分
答：公司考虑一次性给予补贴元，最合理的的值为45元．……………………14分
(23)本小题满分14分．
解：(Ⅰ)由，得
．
由，，得
，即
．……………………………3分
解得 
．
因此，，．……………………………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
．当
且
时，
，
．
设存在各项均不为零的数列，满足．则
，即
（
且）．…………………………6分
首先，当
时，
；……………………………………………………7分
由
，，得
，即
．……………………………………………………………9分
若
，则由
，得
，这与矛盾．………………………10分
若
，则 
．
因此，是首项这，公差为的等差数列．
通项公式为
．
综上可得，存在数列，符合题中条件．…………………………………11分
由上面的解答过程可知，数列只要满足条件即可．
因此，可以数列一部分满足，另一部分满足，且保证且．
例如：数列 
；
数列 
因此，满足条件的数列不唯一．………………………………………………………14分