朝阳区2002——2003学年第二学期高三综合练习（一）数学（理工农医类）
2003．4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面面积，h表示高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数
的共轭复数是
（A）1+2i（B）
（C）1-2i（D）
（2）若a>b>0，集合
，
，则
表示的集合为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）函数f(x)是以π为周期的奇函数，且
，那么
等于
（A）
（B）
（C）1（D）-1
（4）设a、b、c为三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面，下面四个命题中真命题的个数是
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥β。
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a⊥c。
③若
，b、
，a⊥b，a⊥c，则α⊥β。
④若a⊥α，
，a∥b，则α⊥β。
（A）1个（B）2个
（C）3个（D）4个
（5）已知直线
：
，
：
，在直角坐标平面上，
集合
表示
（A）过和交点的直线集合
（B）过和交点的直线集合，但不包括直线
（C）平行直线的集合
（D）平行直线的集合
（6）如图y=arcsin（sinx）的图象是
（7）圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知椭圆
（θ为参数），点P是
时对应的点，则直线OP的倾斜角为（O为坐标原点）
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）过点（0，2）的直线l与双曲线c：
的左支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）若函数
的图象关于直线
对称，则a的值等于（）
（A）
或
（B）1或-1
（C）1或-2（D）-1或2
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）已知函数
的定义域为R，值域为
，则a的值为________________。
（12）直线ax+by+1=0被圆
截得的弦长为8，则
的值为____________________。
（13）要制造一个底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥，用一块长方形材料做它的侧面，这样的长方形的长与宽的最小值分别是_____________。
（14）抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如正比例函数
，
，
，
可抽象为
。写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填入一个函数即可）。
| 特殊函数 | 抽象函数 |
|
| |
|
| |
|
| |
|
|
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分14分）
解不等式
（16）（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）将f(x)表示成cosx的整式；
（Ⅱ）若y=f(x)与
的图象在
内至少有一个公共点，试求a的取值范围。
（17）（本小题满分14分）
如图，AB是圆台上底面⊙
的直径，C是⊙上不同于A、B的一点，D是下底面⊙
上的一点，过D、A、C的截面垂直于下底面，M为DC的中点，AC=AD=2，∠DAC=120°，∠BDC=30°。
（Ⅰ）求证：AM⊥平面DBC；
（Ⅱ）求二面角A—DB—C的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥D—ABC的体积。
（18）（本小题满分14分）
某加油站需要制造一个容积为
的圆柱形储油罐，已知用来制作底面的铁板每平方米价格为40元，用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元，若不计制作损耗。
（Ⅰ）问储油罐底面半径和高各为多少时，制作的储油罐的材料成本价最低？
（Ⅱ）若制作的储油罐底面铁板半径不能超过1.8m，那么储油罐底面半径的长为多少时，可使制作储油罐的材料成本价最低？
（19）（本小题满分14分）
已知函数
。
（Ⅰ）求f（x）的反函数，并指出其定义域；
（Ⅱ）设数列
的前n项和为
，若对于所有大于1的自然数n都有
，且
，求数列的通项公式；
（Ⅲ）令
，求：
（20）（本小题满分14分）
已知：如图，过椭圆c：
（a>b>0）的左焦点F（-c，0）作垂直于长轴
的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线。
（Ⅰ）求证：直线
、
、l共点；
（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（-c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线、、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由。
朝阳区2002-2003学年第二学期高三综合练习（一）
数学（理工农医类）参考答案及评分标准
2003．4
一、选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | C | C | A | D | B | D | A | D | C |
二、填空题
| 11 | 12 | 13 | 14 |
| a = -1 或a = 3 |
| 12cm，9cm | 幂函数 指数函数 对数函数 正切函数f (x) = tgx |
（a>0且a≠1）
（a>0且a≠1）三、解答题
15．解：
……………………………………………………………………2分
解得：x > 1且x ≠2.……………………………………………………………………4分
（1）当1< x <2时，有0 < x –1 <1.……………………………………………………6分
∴
，
.
∴原不等式显然成立，解为1 < x < 2.……………………………………………8分
（2）当x > 2时，有x –1>1.…………………………………………………………10分
∴，.
∴原不等式变为
.
即
解得x > 3.……………………………………………………12分
∴原不等式解集为{x 1<x<2或x > 3}.………………………………………………14分
16．（I）解：
…………………………………2分
……………………………………………………4分
………………………………………6分
=cos2x+cosx………………………………………………………8分
=
.……………………………………………10分
（II）解：令g (x) = f (x)
∵x∈（0，π），
∴0<1+cosx<2.
.……………………………………………………12分
，
a ≥ 2.
当且仅当
，cosx=0，即当
时，等号成立。
当a ≥2时，y = f (x)与y = g (x)的图象在（0，π）内至少有一个公共点。
…………………………………………………………………………………………14分
17．（I）证明：在△ADC中，AC=AD，M是DC的中点
∴AM⊥DC.………………………………………………2分
∵平面DAC⊥平面ABC，C为圆上异于A，B的一点，则有BC⊥AC，
∴BC⊥平面DAC，故BC⊥AM.……………………………………4分
∴AM⊥平面DBC.………………………………………………………6分
▲
（II）解：作MN⊥DB于N，连接AN，由三垂线定理可知AN⊥DB.
∠MNA是二面角A—DB—C的平面角.…………………………………8分
在△ADC中，AC=AD=2，∠DAC=120°
∴
，AM=1.
由BC⊥平面 DAC，可知BC⊥DC.
在Rt△DCB中，，∠BDC=30°，可得BC=2，从而
.
∴
.
∴二面角A—DB—C的正切值为
.………………………………10分
（III）解：
.……………………14分
18．（I）解：设圆柱形储油罐的底面半径为x米，高为h米，材料成本价为y元.
依题意有：
，则
。
∴
……………………………………………………2分
…………………………………………………………4分
………………………………………………………6分
= 960π（元）。
当且仅当
，即x = 2，h = 5时取等号.
答：当储油罐的底面半径为2米，高为5米，材料成本价最低.………………8分
（II）解：由（I）知，
.当x = 2时，y取最小值960π元.
当x不超过1.8米时，即0 < x≤1.8.
下面探讨函数
在（0，1.8]的单调性.……………………10分
设
，
…………………………………12分
∵
，
∴
，
∴
，
.
函数在（0，1.8]内为减函数。
答：当储油罐底面铁板半径为1.8米，材料成本价最低.…………………………14分
19．解：（I）设y = f (x)，
，（x≥0）。
……………………………………………………………………………………………2分
∵x ≥0，
∴y ≥2.
∴
.
∴
.
∴f (x) 的反函数为
，（x≥2）.…………………………4分
（II）∵
，，
∴
，
.
即
.
数列
是等差数列，公差为，
.
∴
.
即
（n∈N）.……………………………………………………8分
当n≥2时，
，
当n = 1时，，满足
∴（n∈N）.………………………………………………10分
（III）∵
，
∴
.
……………………………………………………………………………12分
∴
.………………………………14分
20．解：（I）由方程组
解得
或
▲
则点
，
.………………………………2分
直线的方程为
，
直线的方程为
………………………………………4分
由方程组
解得
.…………………………………………………………………………6分
因为左准线l的方程为，所以直线
与在交点在l上。
故直线，，l相交于一点.……………………………………………………8分
（II）设点P、Q的坐标分别为
，（
），不妨设
.
▲
直线，的斜率分别为
，
，则
，
，
直线的方程为
，
直线的方程为
。
解得交点的横坐标为
，
即
…………………………………………………………10分
直线PQ的方程为y =(x + c).
消去y.得
（*）
设
，方程（*）的二根为
，
，
由韦达定理得：
，
。………………12分
∵点P，Q在直线 PQ上，
∴
，
。
∴
，
，其中
，
，
。
∴
，
因为左准线l的方程为，所以直线与的交点在l上。
故直线，，l相交于一点.………………………………………………14分