高三第二学期期中练习
数 学（理科）
2002．5
学校________________ 班级_______________姓名_________________
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| (17) | (18) | (19) | (20) | (21) | (22) | ||||
| 分数 | |||||||||
参考公式:
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
，
其中
、
分别表示上、下底面周长，
表
示斜高或母线长
台体的体积公式
其中S/、S分别表示上、下底面积，h表示高
一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 函数y =
的定义域是
( )
(A) (1,
(B) (1, 2)
(C) (2, +
) (D) (-,2)
(2) 极坐标系内，点（2, 
）关于直线 
的对称点坐标为
( )
(A) (
) (B) (2, 
) (C) (0, 0) (D) (2, 0)
(3) 直角梯形ABCD中，AB//DC, AB = 2CD, 
A = 45
, AD = 2. 以直线AB为轴将梯形ABCD旋转一周所得旋转体的体积为 ( )
(A)
(B)
(C) 
(D) 
(4) 已知复数
，复数
，那么
的三角形式为 （ ）
(A) 2
(B)
2
(C) 2
(D)
2
(5) 函数y = cosx (-
< x < 0) 的反函数为
( )
(A) y = arccosx (-1 < x < 1) (B) y = - arccosx (-1 < x < 1)
(C) y = -+ arccosx (-1 < x < 1)
(D) y =- arccosx (-1 < x < 1)
(6) 将正方体的纸盒展开(如图)，直线AB, CD在原正方体中的位置关系是 ( )
(A) 平行 (B)垂直 (C) 相交且成60角 (D) 异面且成60角
(7)从7人中选出5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）
（A）
种 （B）
种 （C）
种 （D）
种
(8) 已知a, b是直线，
是平面，给出下列命题：①
，则
；②
,则
；③
,则
；④
，则
. 其中正确命题的序号是 ( )
(A) ①②④ (B) ①③④ (C) ②④ (D) ②③
（9）等比数列{an}公比为q, 则“a1 > 0, 且q > 1”是“对于任意自然数n, 都有an+1 > an”的 ( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
（10）已知f (x)是奇函数，定义域为{x x
R, x
0}. 又f (x)在区间(0, +)上是增函数，且f (-1) = 0, 则满足f (x) > 0的x的取值范围是
( )
(A) (1, +) (B) (0, 1) (C) (-1, 0)
(1, +) (D) (-, -1)(1, +)
（11）若不论k为何值，直线y = k(x – 2) + b与曲线x2 – y2 = 1总有公共点，则b的取值范围是 ( )
(A) 
(B) [
(C) (-2, 2) (D) [-2, 2]
（12）在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 （ ）
(A) 22 (B) 23 (C) 24 (D) 25
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.
(13) 若 (x +
)
的展开式中第三项系数为36，则自然数n的值是_________.
(14) 若集合{(x, y)
x + y – 2 = 0且x – 2y + 4 = 0}
{(x, y) y = 3x
+ b}, 则b = _________ .
(15) 现有两个定值电阻,串联后等效电阻值为R,并联后等效电阻值为r.若R=k r,则实数k 的
取值范围是 ________________.
(16) 已知函数f (x) = x2 –2ax + b (xR).给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0) = f(2)时f(x)的图象必关于直线x = 1对称；③若a2–b <
0，则f(x)在区间[a, +)上是增函数；④f(x)有最大值a2–b.
其中正确命题的序号是___________________
.
三.解答题:本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分12分)
已知
.
（I）化简
的解析式;
（II）若
,求
使函数为偶函数;
（III）若为偶函数, 求满足=1,
的
的集合.
(18) (本小题满分12分)
解关于的不等式:
(
)
(19) (本小题满分12分)
如图所示，正四棱锥P-ABCD中,侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为
.
（I）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小 ;
(II) 若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(III) 在侧面PAD上寻找一点F, 使EF⊥侧面PBC.试确定F点的位置,
并加以证明.
(20) (本小题满分12分)
矩形ABCD的顶点A、B在直线
上,C、D在抛物线
上,该矩形的外接圆方程为
.
(I)求矩形ABCD对角线交点M的坐标;
(II)求此矩形的边长,并确定
的值.
(21) (本小题满分12分)
这是一个计算机的程序的操作说明：
(1)初始值x = 1，y = 1, z = 0, n = 0；
(2) n = n + 1 （将当前n + 1的值赋予新的n）；
(3) x = x + 2（将当前x + 2的值赋予新的x）；
(4) y = 2y（将当前2y的值赋予新的y）；
(5) z = z + xy (将当前z + xy的值赋予新的z);
(6)如果z > 7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；
(7)打印n, z；
(8)程序终止.
由语句（7）打印出的数值为______,_______.
以下写出计算过程：
(22) (本小题满分14分)
已知函数
.
(I)将
的图象向右平移两个单位,得到函数
,求函数的解析式;
(II)函数
与函数的图象关于直线
对称,求函数的解析式.
(III)设
,已知
的最小值是m且
,求实数
的取值范围.
高三数学期中练习（理科）参考答案
2002．5
一．选择题（每小题5分，共60 分）
(1) B (2) A (3) A (4) D (5) B (6) D (7) D (8) B (9) A (10) C (11) B (12) C
二．填空题 (每小题4分，共16分)
(13) 9
(14) 2 (15) [4, +﹚ (16) ③
三.解答题
(17) 本小题满分12分
解：(I) 
2分
=
4分
=
（或
6分
（II） 当
时, 为偶函数.
8分
(III) 由
10分
∴所求x的集合是
12分
（18）本小题满分12分
解：原不等式可化为
1分
原不等式成立的必要条件是
3分
由 且 
, 故 
5分
∴原不等式等价于
7分
若
则
又
， ∴
.
9分
∴
.
若
, 则 
∴
且
10分
若>
,则
∵ 2>2-
,
∴
.
12分
综上,当1< 
时 ,不等式的解集是
}
当 时 , 不等式的解集是且
}
当 >时 , 不等式的解集是}
(19) 本小题满分12分
解：(Ⅰ) 连结AC,BD交于O,连结PO.
∵P-ABCD为正四棱锥,
∴PO⊥底面ABCD.
作PM⊥AD于M,连结OM,
∴OM⊥AD.
∴ ∠PMO为侧面PAD与底面
ABCD所成二面角的平面角. 2分
∵ PO⊥底面ABCD,
∴ ∠PAO为PA与底面ABCD所成的角.
∴
∠PAO=. 设AB=, ∴ AO=
MO=
.
∴PO=
. ∴∠PMO=
.
∴ ∠PMO=
，即侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为
. 4分
(Ⅱ) 连结EO,∵E为PB的中点，O为BD的中点，∴EO//PD.
∴∠AEO为异面直线AE与PD所成角 6分
∵ Rt△PAO中, AO=PO=
∴PA=
.
∴EO=
PD=
.由AO⊥截面PDB,可知AO⊥EO.
在Rt△AOE中 ∠AEO=
.
即异面直线AE与PD所成角的正切值是
.
8分
(Ⅲ) 延长MO交BC于N,连结PN,取PN中点G,连结EG,MG.
∵P-ABCD为正四棱锥且M为AD的中点, ∴N为BC中点. ∴BC⊥MN,BC⊥PN.
∴BC⊥平面PMN. ∴平面PMN⊥平面PBC.
∵PM=PN, ∠PMN=,∴△PMN为正三角形, ∴MG⊥PN, ∴MG⊥平面PBC.
取AM中点为F,连结FE, 则由EG//MF且EG=MF得到MFEG为平行四边形,
∴FE//MG. ∴FE⊥平面PBC. 12分
(20) 本小题满分12分
解: (I)∵M是矩形外接圆的圆心,外接圆的方程为
∴ M点坐标为(
.
3分
(II) ∵CD//AB, ∴可设CD的直线方程为
.
与抛物线方程联立,消,得
(*)
设弦CD的中点为N,则
.
由MN⊥CD,得
,即 
,解得
.
6分
由方程(*),
,
8分
N点坐标为（
，N关于M的对称点是N
坐标为（-
，
N在直线AB上，代入方程可得
10分
M点到CD的距离为
∴
.
圆半径r满足
∴
12分
即此矩形的分别边长为
(21) 本小题满分12分
解: 设n= 
时,x,y,z
的值分别为
.
依题意,
∴
是等差数列, 
.
2分
∴
是等比数列, 
.
4分
5分
∴
=
∴
以上两式相减,得 zn=
=
9分
依题意,程序终止时：
，
即
可求得
. 12分
(22) 本小题满分14分
解: (I) 
.
2分
(II) 设 图象上一点P
,
点P关于的对称点为Q
,
4分
由Q在的图象上, ∴
,
于是
, 即 
.
7分
(III) 
. 8分
(1) 当
时, 
, 
由
值域是
,可得
这与
矛盾;
(2) 当
时, 
,
是(-
)上的增函数,
设
则当
时, 
这与已知矛盾.
(3) 当
时, 
,
是(-)上的减函数,
设则当
时, 这与已知矛盾.
11分
由(1),(2),(3)可知, 
此时,
,
当且仅当
,即
时,
取得最小值 
.
由 及
得
解得, 
.
14分
说明:其它正确解法按相应步骤给分.