北京市东城区2002年高三总复习练习（三）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c '、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式：
其中S' 、S分别表示上、下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)若互不相等的三个实数a、b、c成等差数列，a、c、b成等比数列，则a:b:c等于
（A） 1：2：3
（B）3：1：2
（C） 4：1：2
（D）4：1：（-2）
（2）（理）已知
,则x等于
（A） 
（B）
（C）
（D）
（2）（文）
的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）复数
的共轭复数的平方等于
（A）
（B）
（C） 
（D）
（4）已知异面直线a、b分别在平面α、β内，且a∩β=c,那么直线c
(A) 与a、b都相交
（B）与a、b 都不相交
（C）只与a、b中的一条相交
（D）至少与a、b中的一条相交
（5）（理）已知圆心的极坐标为(a,π)(a>0),则过极点的圆的极坐标方程为
（A）ρ=2αsinθ
（B）ρ=-2αsinθ
(C)ρ=2αcosθ
(D)ρ=-2αcosθ
(5)(文)以（5，6）和（3，-4）为直径端点的圆的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）圆台母线与底面成45°角，侧面积为
，则它的轴截面面积是
（A） 2 （Ｂ）3
（C） 
（D）
（7）在同一坐标系中，方程
和
（a、b均为正实数）所表示的曲线只可能是下列四个图形中的
（8）把函数y=f(x)的图象沿着直线x+y=0的方向向右下方平移
个单位，得到函数
的图象，则
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
(9)如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD。
则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是
（A）平面ABD⊥平面ABC
（B）平面ADC⊥平面BDC
（C）平面ABC⊥平面BDC
（D）平面ADC⊥平面ABC
（10）在平面直角坐标系中有6个点，它们的坐标分别为（0，0），（1，2），（-1，-2）（2，4）（-2，-1），（2，1）则这6个点可确定不同三角形的个数为
（A）14 （B） 15
（C） 16 （D） 20
（11）椭圆
的焦点为
和
，点P在椭圆上，如果线段
的中点在y轴上，那么
的值为
(A) 7:1 (B)5:1
(C) 9:2 (D) 8:3
(12)已知函数y=f(x)与
互为反函数，
与y=g(x)的图象关于直线y=x对称.若
， (x>0),则
等于
(A) 1 (B) -1
(C) 3 (D) -3
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（13）sin80°cos35°-sin10°cos55°的值等于________________.
(14) 已知抛物线
的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是_________.
(15)已知
，
当
时，有
，则a、b的大小关系是___________________。
（16）一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆.已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为1，则该几何体的体积等于_____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17) （本小题满分12分）
已知：△ABC中，C=120° c=7，a+b=8 。
求：cos(A-B)的值。
(18) (本小题满分12分)
已知函数y=f(x)对任意实数
，
,都有
，且当x>0时，
f（x）<0。
(Ⅰ)试判断函数y=f(x)的奇偶性，并给出证明；
(Ⅱ)试判断函数y=f(x)的单调性，并给出证明。
（19）.（本小题满分12分）
在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形。这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①。若用剩下的部分拆成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②。则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值。
(20).（本小题满分12分）
已知三棱锥p—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BDF；
（Ⅲ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比。
(21)（本小题满分12分）
已知直线l与椭圆
（a>b>0）有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程。
(22)（本小题满分14分）
已知数列
的通项公式
(n∈N)，它的前n项和记为
，数列
是首项为3，公差为1的等差数列.
（
Ⅰ）求
与的解析式；
（
Ⅱ）试比较与
(n∈N)的大小。
北京市东城区2002年高三总复习练习（三）
高三数学参考答案及评分标准
一、
（1）D （2）D （3）B （4） D （5）D （6）B （7）D （8）A
（9）D （10） B （11）A （12） D
二、
（13）
（14）
（1，0） （15）a<b (16) 10π
三、
（17）解：由正弦定理，得
----------------------------------------2分
又由正弦定理及已知，得方程
2R(sinA+sinB)=8---------------------------------------------------5分
解得
-------------------------------------------------9分
∴
，
--------------------------------------------------12分
（18）
解：(Ⅰ)在关系式
中，
令
，得
.
解得
.
同样，在已知关系式中，令
, 
,
得f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴函数f(x)是R上的奇函数.-------------------------------------------------6分
(Ⅱ)任取.
则
.
由
，并由已知，得
即
则由函数单调性的定义，得
y=f(x)是R上的减函数.------------------------------------------------------ 12分
(19) 解：设容器的高为x.
则容器底面正三角形的边长为
--------------------------------2分
∴
---------------------4分
-----------------------------------------------------------10分
当且仅当
，即
时
----------------------------------------------12分
答：当容器的高为
时，容器的容积最大，最大容积为
.
(20) （Ⅰ）证：∵PC⊥底面ABC，BD
平面ABC，
∴PC⊥BD.
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.
又PC∩AC=C ，∴BD⊥平面PAC.--------------------------------------2分
又PA平面PAC，∴BD⊥PA.
由已知，DE⊥PA，DE∩BD=D,
∴AP⊥平面BDE.-------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）证: 由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE.
由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP.
又由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF---------------------------------------6分
BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF.
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF. ----------------------8分
（Ⅲ）解: 设点E和点A到平面PBC的距离分别为
和
.
则
--------------------------------------9分
∴
----------------------11分
所以截面BEF分三棱锥P-ABC所成的两部分体积的比为1：2（或2：1）-----------12分
（21）解：由已知，直线l不过椭圆的四个顶点.
所以设直线l的方程为y=kx+m(k≠0).----------------------------------------------1分
代入椭圆方程，得
.
化简后，得
.-------------3分
由已知，得△=0.
即
.①--------------------------------6分
在直线方程y=kx+m中，
分别令y=0，x=0，求得
S(0，m).
令顶点P的坐标为（x，y）,
由已知，得
解得
--------------------------------10分
代入①式并整理，得
即为所求.------------------------------------------12分
（22）解：（Ⅰ）由已知
.
∴
，∴
--------------2分
，
当n≥2时，
.
∴
（Ⅱ ）
当n=1时，
，
，有
.-------------------6分
当n=2时，
，
，有
---------------7分
当n=3时，
有
---------------8分
当n=4时，
，有
---------------9分
当n=5时，
，
有
猜想,当n≥4时，
。证明如下：--------------------------------10分
证明
∵
∴只需证明
只需证明
.
只需证明
。
由平均值定理，有
∴只需证明
.
只需证明
.
此不等式当n≥4时成立.
所以当n≥4时成立.
综上，当n=1或n≥4，n∈N时, ；
当n=2和n=3时，
------------------14分