圆周运动（二）
知识要点：
深刻理解向心力的概念，知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速度，这一个力或几个力的合力就是向心力，会对圆周运动的物体进行受力分析，会找向心力。知道物体做匀速圆周运动的条件，知道什么是近心运动，什么是离心运动，知道外力大于向心力做近心运动，外力小于向心力，做离心运动。
三. 重难点分析：
1. 向心力及来源
物体做圆周运动有加速度
产生这个加速度的力就叫向心力，这个力的大小为
。方向总是指向圆心。只要物体所受外力大小为
，方向总指向圆心，那么这个力就可以做向心力，若几个力的合力大小为，方向指向圆心，那么这几个力的合力做向心力。因此①
向心力是根据力的效果命名的，不是单独一种性质的力。② 向心力可以由一个力提供也可以由几个力的合力充当，既几个力共同做向心力，还可以由某一个力的分力作向心力。
2. 做匀速圆周运动的条件，近心运动，离心运动。当物体做匀速圆周运动，外力或几个外力的合大小
方向总指向圆心，就是做匀速圆周运动所需要的力恰好与合外力相等。
若合外力
则F所产生的加速度大于
，在垂直于v方向改变得过快，速度偏向圆心过多，运动半径减小做近心运动。
若合外力
则F所产生的加速度比做半径不变的圆周运动加速度小，偏向圆心方向速度的改变慢，运动的半径增大，做远离圆心的运动简称离心运动。
3. 实例分析
（1）火车转弯
火车左右两侧的车轮分别沿铁轨运动，沿直线运动时，两条钢轨位于同一水平面内以防侧倾倒。而当火车转弯时，有向心加速度需要向心力，为此使钢轨不在一个平面内，外侧高而内侧低，本身不再是竖直的但能顺利转弯而不发生侧倾，否则车辆不能受到外力，要做离心运动，发生倾覆。
见下图，列车转弯时，靠近圆心一侧为内侧，另一侧为外侧，相应为内轨外轨，与列车前进方向无关。
取水平面内转弯半径为r，内外轨距为d，内外轨高度差为h。
转弯时竖直截面见右图，由于转弯在水平面内转弯半径为水平方向，向心加速度为水平方向。列车受力有重力，竖直向下，路轨支持力
方向与双轨连线垂直，这两个力的合力做向心力，沿水平方为
。
两轨道连线倾角为
，
而
为转弯时速率
∴ 
转弯时速率
则外力的合力恰好等于向心力，若
则外力的合力小于向心力，要做离心运动火车向外侧翻倒，滑动，火车对外侧轨道有沿转弯半径向外的压力，火车向外侧推轨道。
当
则合外力大于向心力，要做近心运动，火车对内侧轨道有沿转弯半径向圆心方向的压力，即火车对内轨有向圆心方向的推力。
火车提速转弯半径r不改变则内外轨道高差h要增加，不然火车转弯有危险。
（2）汽车过拱形桥和凹形山坡底，设拱形桥半径为r，汽车速率为v。
汽车对桥面压力与等大比重力小。
若v足够大使
则
汽车对桥面无压力，汽车即将离开桥面。
若汽车没有离开桥面半径与竖直方向成角，
即使v不变，也会随增大而减小。当
时，减小到零，汽车也即将离桥面。
（3）圆锥摆
长度为
的细绳下端拴一个质量为m的小球，固定绳的上端，使小球沿水平面内的圆做匀速圆周运动。
细绳转动恰好形成一个锥面，所以叫圆锥摆。
设绳与竖直方向成角，球转动的角速度为
。
而
∴ 
当一定，越大一定是越大，T越小，即转得快。
∴ 圆锥摆转动越快，悬线偏离竖直方向越多
（4）上述圆锥摆运动中若线速度突然增大，则
增大，而
，小球就要做离心运动使圆周运动半径增大。
相反若速度
减小就要做近心运动，运动半径逐渐减小。
即外力小于向心力时就要做离心运动，外力大于向心力时就要做近心运动。
4. 应用匀速圆周运动规律求解问题的步骤和方法。
（1）确定研究对象
（2）找到运动过程中的状态变化，即从什么位置开始做圆周运动，要求的状态是否为圆周运动。
（3）对研究对象分析受力，尤其注意确定向心力方向。
（4）建坐标系原点在圆心，指向圆心为正方向，坐标轴随物体运动而运动。（转动的坐标系）
（5）由牛顿第二定律列方程。注意未知量个数，列方程个数。
注意：作用力，反作用力关系。
（6）解方程，进行必要的讨论。
【典型例题分析】
[例1] 匀速行进中的小车下面悬挂一个重物，若绳长为，行进速度为v，当小车突然刹车停止运动悬绳的拉力多大？（已知悬挂重物质量为m）
解析：小车匀速行进时，重物以相同的速度一起匀速前进，当小车紧急刹车而停止时，重物不能马上停止。以小车为圆心做圆周运动。重物受两个力，速度为v。
悬绳的拉力大小为
注意：小车停止后，重物不再做匀速直线运动，而是圆周运动。
[例2] 过山车是常见的刺激娱乐项目，可以简化为下面问题。竖直平面内的圆形轨道半径为R。过山车从倾斜轨道滑下进入圆形轨道，在竖直轨道上做圆周运动，求在圆形轨道最高点，车的最小速度。
解析：过山车在圆形轨道做圆周运动轨道的支持力，重力的合力做向心力，车经最高点恰好不掉下来就是车没有离开圆轨道，又对轨道无压力，则
即过山车的最小速度至少为
当车速小于，重力大于向心力，车就要脱离轨道而掉下来。
当车速大于则轨道的支持力与重力的合力做向心力，车对轨道有向上的压力。
[例3] 汽车与路面之间的动摩擦因数
，转弯处弯道半径为
，
取
。
（1）若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？
（2）若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为
，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。
（3）若是（2）中转弯路面，最大转弯速度是多少？
解析：路面是水平的，汽车转弯，向心力沿水平方向，摩擦力做向心力，速度最大摩擦也最大。
∴ 
若弯路是坡面，且车与路面无侧向摩擦力
则
（3）汽车以最大速度转弯则受三个力向心力沿水平方向，取水平方向为
轴，竖直方向为
轴。
解得
大于水平路面的最大转弯速度
[例4] 质量为
和
的小球分别固定在长为的轻杆两端。转杆绕过中点的水平轴匀速转动。若轻杆转动中对轴的作用力最小为零，求对轴作用力最大值。
解析：的球在最高点
，的球最低点
，对轴的作用力
，
，的球在最低点，对轴作用力
是最大值。
由题设知F最小为零
∴ 
F最大值 
[例5] 如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用力拉着绳的另一端使P在水平板上绕O点做半径为a的圆周运动，速率为
。若将绳突然放松，然后再拉住，使小球到O点距离增大到b。
求：
（1）小球以b为半径做匀速圆周运动的速率
（2）小球运动由绳长为a到绳长为b的时间。
解析：小球绕O做圆周运动，绳突然松开则无外力做向心力，球做离心运动沿切线S飞出，到绳长为b时受绳拉力速度改变，由于拉力沿绳的方向，小球速度沿绳方向分速度减小为零垂直于绳的速度不变。当小球以b为半径做圆周运动速率就是在垂直于绳的分量。
而 
（2）运动S的时间
【模拟试题】
1. 甲、乙两个物体均做匀速圆周运动，甲的质量和轨道半径均为乙的一半，当甲转过
60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲乙两个物体的向心力之比为 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 以相同的材料做成的A、Ｂ、C三物体放在匀速转动的平台上，若都相对于平台静止，且
，
，则（ ）
A. C的向心加速度最大
B. A受到的摩擦力最大
C. 转速增大时，C比B先滑动
D. 转速增大时，B比A先滑动
3. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A球运动的半径大于B球运动的半径，则（ ）
A. A球的角速度必小于B球的角速度
B. A球的线速度必小于B球的线速度
C. A球运动的周期必大于B球的运动的周期
D. A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
4. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重力的K倍，在水平面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为（ ）
A. v=K
B. v≤
C. v≤
D. v≤
5. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A点，遇到一段半径为R的圆弧曲面AB，然后落到水平地面的C点，假如小球没有跟圆弧曲线上的任何点接触，则BC的最小距离为（ ）
A. 0
B. R
C. 
R
D. （－1）R
6. 如图所示，已知半圆形碗半径为R，质量为M，静止在地面上，质量为m的滑块滑到圆弧最底端速率为v，碗仍静止，此时地面受到碗的压力为（ ）
A. mg＋m B. Mg＋mg＋m
C. 
D. Mg＋mg—m
7. 如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的水平细杆上，穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则（ ）
A. 当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B. 当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动
C. 若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω时两球也不动
D. 若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
8. 关于向心力的说法中正确的是（ ）
A. 物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B. 向心力是指向圆心方向的合力，是根据作用效果命名的
C. 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或者某几种力的合力
D. 向心力只改变物体的运动方向，不改变物体的运动快慢
9. 两个做匀速圆周运动的物体，其质量之比为，角速度之比为
，线速度之比为
，则它们的向心加速度之比为
，它们所需向心力之比为 。
10. 一个做匀速圆周运动的物体，如果半径不变而速率增加到原来速率的3倍，其向心力增加了64N，那么物体原来受到的向心力的大小是 N。
11. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R。若要物体不滑下，则圆筒转动的角速度至少为 。
12. 地球在自转的过程中，质量为m、站在赤道上的人A和质量为2m、站在北纬
位置的人B，随地球一起转动，A和B随地球转动的角速度之比为 ，A和B随地球转动的线速度之比为
，A和B随地球转动的向心加速度之比为
，A和B随地球转动的向心力之比为 。
13. 用绳的一端拴一重物，手握绳的另一端使重物在竖直面内做圆周运动，试分析重物
到达最高点与最低点时向心力的来源，绳子在哪一点受到的拉力大?为什么?
14. 如图所示，高为h竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方处有出口B，一质量为m的小球自入口A沿切线方向水平射入圆筒内，要使球从B处飞出，小球进入入口A的速度应满足什么条件?在运动过程中，球对筒压力多大?
15. 如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？
16. 如图所示，弹簧一端固定在转轴上，另一端与小物块相连，物块在光滑水平面上绕轴做匀速圆周运动，弹簧原长为0.5m，劲度系数为100N／m，物块质量为
kg，当物块转动周期为0.2s，弹簧的伸长量是多少?
【试题答案】
1. C 2. D 3. AC 4. B 5. D 6. B 7. CD 8. ABCD
9.
; 10. 8N 11. 
12. 
；
；；
13.
略14. 小球速率
俯视小球做匀速圆周运动时间为t。A、B半径在同一方向，
竖直方向小球做自由落体运动，
，
向心力
15.
设小球恰好断开时，运动半径为
，
小球绕第三个半周时半径为
，所以当小球绕完两半周接第三个半圆时绳子断开。时间为
16.
设伸长量为。
解得