匀速圆周运动专题
从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。
（一）基础知识
1. 匀速圆周运动的基本概念和公式
（1）线速度大小
，方向沿圆周的切线方向，时刻变化；
（2）角速度
，恒定不变量；
（3）周期与频率
；
（4）向心力
，总指向圆心，时刻变化，向心加速度
，方向与向心力相同；
（5）线速度与角速度的关系为
，
、
、
、
的关系为
。所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和
有关。
2. 质点做匀速圆周运动的条件
（1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。
3. 向心力有关说明
向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。
（二）解决圆周运动问题的步骤
1. 确定研究对象；
2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；
3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向；
4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。
基本规律：径向合外力提供向心力
（三）常见问题及处理要点
1. 皮带传动问题
例1：如图1所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）
A. a点与b点的线速度大小相等
B. a点与b点的角速度大小相等
C. a点与c点的线速度大小相等
D. a点与d点的向心加速度大小相等
图1
解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C；c点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同，由
，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为，则a点向心加速度
，由
，
，所以
，故
，D正确。本题正确答案C、D。
点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。
2. 水平面内的圆周运动
转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。
例1：如图2所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的
倍。求：
（1）当转盘的角速度
时，细绳的拉力
。
（2）当转盘的角速度
时，细绳的拉力
。
图2
解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为
，则
，解得
（1）因为
，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即
。
（2）因为
，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得
，解得
。
点评：当转盘转动角速度
时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出。可见，是物体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度与物体的质量无关，仅取决于和r。这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。
圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。
例2：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的
（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。
图3
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力
的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图3所示有
由此可得
，
可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。
点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
3. 竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类（图4）。
图4
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有
，即
，否则不能通过最高点；
（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有
，
，否则车将离开桥面，做平抛运动；
（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当
时物体受到的弹力必然是向下的；当
时物体受到的弹力必然是向上的；当
时物体受到的弹力恰好为零。b. 当弹力大小
时，向心力有两解
；当弹力大小
时，向心力只有一解
；当弹力
时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。
结合牛顿定律的题型
例3：如图5所示，杆长为
，球的质量为
，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为
，求这时小球的瞬时速度大小。
图5
解析：小球所需向心力向下，本题中
，所以弹力的方向可能向上也可能向下。
（1）若F向上，则
，
；
（2）若F向下，则
，
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。
需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。
结合能量的题型
例4：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为
、
，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是
，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么、、R和应满足的关系是 。
解析：由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图6所示。
对于A球有
对于B球有
根据机械能守恒定律
由环的平衡条件
而
，
由以上各式解得
图6
点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析，运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。
连接问题的题型
例5：如图7所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知
，
，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？
图7
解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得
因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即
设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为
，由牛顿第二定律得
解以上各式得
，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于
，方向竖直向下。
说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题的共同点。
（四）难点问题选讲
1. 极值问题
例6：如图8所示，用细绳一端系着的质量为
的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为
的小球B，A的重心到O点的距离为
。若A与转盘间的最大静摩擦力为
，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围。（取
）
图8
解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。
对于B：
对于A：
，
联立解得
，
所以
点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判断物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
2. 微元问题
例7：如图9所示，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为（
），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？
图9
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m，则轨道上的那部分车的质量为
由机械能守恒定律得
由圆周运动规律可知，列车的最小速率，联立解得
3. 数理问题
例8：如图10，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距
，长
的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力
，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？
图10
解析：小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。
小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力不断增大，每转半圈的时间t不断减小。
在第一个半圆内
，
在第二个半圆内
，
在第三个半圆内
，
在第n个半圆内
，
令
，得
，即在第8个半圆内线还未断，n取8，经历的时间为
【模拟试题】
1. 关于互成角度（不为零度和180°）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（ ）
A. 一定是直线运动
B. 一定是曲线运动
C. 可能是直线，也可能是曲线运动
D. 以上答案都不对
2. 一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一个铁球，先后释放4个，若不计空气阻力，则这4个球（ ）
A. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是等间距的
B. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线，它们的落地点是不等间距的
D. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线，它们的落地点是等间距的
3. 图1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为
，小轮的半径为
、
点在小轮上，到小轮中心的距离为。
点和
点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ）
A. a点与b点的线速度大小相等
B. a点与b点的角速度大小相等
C. a点与c点的线速度大小相等
D. a点与d点的周期大小相等
图1
4. 在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为
，摩托艇在静水中的航速为
，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为，则下列说法中正确的是（ ）
① 当以的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
② 当以的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
③ 当速度大于v时，轮缘挤压外轨
④ 当速度小于v时，轮缘挤压外轨
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6. 在做“研究平抛物体的实验”时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上： 。
A. 通过调节使斜槽的末端保持水平
B. 每次释放小球的位置必须不同
C. 每次必须由静止释放小球
D. 记录小球位置用的木条（凹槽）每次必须严格地等距离下降
E. 小球运动时不应与木板上的白纸（或方格纸）相接触
F. 将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
7. 试根据平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速的实验方法。根据实验器材：弹射器（含弹丸，见图2所示）：铁架台（带有夹具）；米尺。
（1）在安装弹射器时应注意： ；
（2）实验中需要测量的量是： ；
（3）由于弹射器每次射出的弹丸初速不可能完全相等，在实验中应采取的方法是： ；
（4）计算公式：
图2
8. 在一次“飞车过黄河”的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地。已知汽车从最高点到着地经历时间为
，两点间的水平距离为
。忽略空气阻力，则最高点与着地点间的高度差约为 m，在最高点时的速度约为 m/s。
9. 玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度连续不断的向前行走，在切割工序处，金刚钻的割刀速度为10m/s。为了使割下的玻璃板成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次时间多长？
10. 一级方程式汽车大赛中，一辆赛车总质量为m，一个路段的水平转弯半径为R，赛车转此弯时的速度为v，赛车形状都设计得使其上下方空气有一压力差——气动压力，从而增大了对地面的正压力。正压力与摩擦力的比值叫侧向附着系数，以
表示。要使上述赛车转弯时不侧滑，则需要多大的气动压力？
11. 如图3所示，一高度为
的水平面在A点处与一倾角为
的斜面连接，一小球以
的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取
）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则
，由此可求得落地时间t。
问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需时间；若不同意则说明理由并求出你认为正确的结果。
图3
【试题答案】
1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. ACE
7.
（1）弹射器必须保持水平
（2）弹丸下降高度y和水平射程x
（3）在不改变高度y的条件下进行多次实验，测量水平射程x，得出平均水平射程
（4）
8. 3.2；37.5
9.
割刀的速度方向跟玻璃板的前进方向的夹角
满足：
秒
10.
11.
不同意；
秒