第七节 动能和动能定理
例1 一架喷气式飞机，质量m=5×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3×102m时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力。
例2 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
例3 一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（ ）
A .Δv=0 B. Δv=12m/s C. W=0 D. W=10.8J
例4 在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
例5 一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（ ）
A. mglcosθ B. mgl(1－cosθ) C. Flcosθ D. Flsinθ
例6 如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F时，圆周半径为R，当绳的拉力增大到8F时，小球恰可沿半径为R／2的圆周匀速运动在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________.
例7 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数
，g取10m/s2。
(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?
(2) 工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?．
例8如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
例9电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s2）
例10一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．
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例11 从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：
（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？
（2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
例12某同学从高为h处水平地投出一个质量为m的铅球，测得成绩为s，求该同学投球时所做的功．
例13如图所示，一根长为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m的小球，当小球处于最低平衡位置时，给小球一定得初速度
，要小球能在竖直平面内作圆周运动并通过最高点P，至少应多大？
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例14 新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m2的风能的50%转化为电能，利用上述已知量推导计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。
例15 质量为M、长度为d的木块，放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动。质量为m的子弹以水平速度V0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度V0射入静止的木块。设子弹在木块中受阻力恒定。
求：（1）子弹射入木块的深度
（2）从子弹开始进入木块到与木块相对静止的过程中，木块的位移是多大？
例16如图2-7-19所示的装置中，轻绳将A、B相连，B置于光滑水平面上，拉力F使B以1m／s匀速的由P运动到Q,P、Q处绳与竖直方向的夹角分别为α1=37°，α2=60°.滑轮离光滑水平面高度h=2m，已知mA=10kg，mB=20kg，不计滑轮质量和摩擦，求在此过程中拉力F做的功(取sin37°=0.6，g取10m／s2)
参考答案：
1、
解答：取飞机为研究对象，对起飞过程研究。飞机受到重力G、支持力N、牵引力F 和阻力f 作用，如图2-7-1所示
2-7-1
各力做的功分别为WG=0，WN=0，WF=Fs，Wf=-kmgs.
起飞过程的初动能为0，末动能为
据动能定理得：
代入数据得：
2、石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
。
所以，泥对石头的平均阻力
N=820N。
3、解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt-(-v0)=12m/s,根据动能定理
答案：BC
4、解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有
，
解得小球着地时速度的大小为 
。
正确选项为C。
5、解答 将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mgtanθ，可见，随着θ角的增大，F也在增大。而变力的功是不能用W= Flcosθ求解的，应从功和能关系的角度来求解。
小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。
小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 W－mgl(1－cosθ)=0，
W= mgl(1－cosθ)。
正确选项为B。
6、
7、解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力
，
工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律
可得 
m/s2=2.5m/s2。
设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律
可得
m=0.8m＜4m。
故工件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。
(2) 在工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf ，由动能定理
,
可得
J
J=220J。
8、解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，
所以mgR-umgS-WAB=0
即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J)
9、解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。
在匀加速运动过程中，加速度为
m/s2=5
m/s2，
末速度
m/s=10m/s，
上升时间
s=2s，
上升高度
m=10m。
在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为
m/s=15m/s，
由动能定理有
，
解得上升时间
s=5.75s。
所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为
t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。
10、解答 设该斜面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：
物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则
对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk．
mglsinα－μmglcosα－μmgS2=0
得 h－μS1－μS2=0．
式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故
11、解答：(1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得：mg(H-h)-kmg(H+h)=0
解得
(2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0
解得
12、解答 同学对铅球做的功等于铅球离手时获得的动能，即
铅球在空中运动的时间为
铅球时离手时的速度
13、
14、解答 首先建立风的“柱体模型”，如图2-7-7所示，设经过时间t通过截面S的空气的质量为m，则有
m=ρV=ρSl=ρSvt。
这部分空气的动能为 
。
因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为
。
代入数据得
W=5.6×104W。
15. （1） X＝ Md/（M＋m） （2） S2＝
16. 151.95J