八、周期性问题(二)
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1. 1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_____.
2. 黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图：
……
这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.
3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是_____色.
4. 把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_____袋中.
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5. 将数列1,4,7,10,13…依次如图排列成6行,如果把最左边的一列叫做第一列,从左到右依次编号,那么数列中的数349应排在第_____行第_____列.
1 4 7 10 13
28 25 22 19 16
31 34 37 40 43
58 55 52 49 46
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………………………………
6．分数
化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_____.
7. 
化成小数后,小数点后面1993位上的数字是_____.
8. 在一个循环小数0.中,如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点,应分别在_____和_____这两个数字上.
9. 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是_____.
10. 算式(367367+762762) 
123123的得数的尾数是_____.
二、解答题
11. 乘积1234……19901991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？
12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的
恰好是第二个数的
，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？
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| ||
| 社会主义好社会主义好社会主义好…… |
上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是_____.
14. 甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开始涂黑5厘米,间隔5厘米不涂色,接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色,接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_____厘米.
—————————————————答 案————————————————————
1. 五
在这十年中有3个闰年,所以这10年的总天数是36510+3,365被7除余1,所以总天数被7除的余数是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.
2. 黑,26
根据图示可知,若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.
由(102-1)
4=25…1，可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有
1
25+1=26(颗).
3. 黑
小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的,把它看成周期性问题,每个周期为15.
由199315=132…13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.
4. B
通过观察可以发现,第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋子相同,即当投的次数被10除余1,2,3,…，8，9，0，分别投进A，B，C，……D，C，B袋中，1992被10除余2，所以第1992粒珠子投在B袋中.
5. 24,2
这个数列从第2项起,每一项都比前一项多3,(349-1)3+1=117,所以349是这列数中的第117个数.
从排列可以看出,每两排为一个周期,每一周期有10个数.
因为11710=11…7，所以数“349”是第11个周期的第7个数，也就是在第24行第2列.
6. 6
=
它的循环周期是6,因为1993=6332+1,所以化成小数后,其小数点后面第1993位上的数字是6.
7. 7
=
它的循环周期是6,因为(1993-1)6=332,则循环节“142857”恰好重复出现332次.所以小数点后面第1993位上的数字是7.
8. 3,7
表示循环小数的两个小圆点中,后一个小圆点显然应加在7的上面,且数字“5”肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，（100-4）3=32，第100位数字是7.设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，（100-3）4=24…1，第100位数字是4.设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，（100-2）5=19…3，第100位数字正好是5.
[注]拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上,一下子难以确定,怎么办?唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5,就从数字5开始试.逐步向前移动,直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫,唯一的办法就是探索:先试一试这条,再试一试那条.
9. 2
由特例不难归纳出:
(1)9的连乘积的个位数字按9,1循环出现,周期为2；
(2)8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现,周期为4；
(3)7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现,周期为4.
因为1991=9952+1,所以1991个9的连乘积的个位数字是9；因为1990=4974+2，所以1990个8的连乘积的个位数字是4；因为1989=4974+1，所以1989个7的连乘积的个位数字是7.947的个位数字是2,即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2.
10. 9
7的连乘积,尾数(个位数字)以7,9,3,1循环出现,周期为4.因为367¸4=91…3，所以，367367的尾数为3.
2的连乘积,尾数以2,4,8,6循环出现,周期为4.因为762¸4=190…2，所以，762762的尾数为4.
3的连乘积,尾数以3,9,7,1循环出现,周期为4.123¸4
=30…3，所以，123123的尾数为7.
所以,(367367+762762)´123123的尾数为(3+4)´7=49的尾数,所求答案为9.
11. 从1开始,将每10个数分为一组,每一组10个数从右到左第一个不等于零的数字是乘积12345678910=从右到左第一个不等于零的数字是8,1~1991可分为1~10，11~20，21~30，…，1981~1990，1991；8的连乘积末位数字8、4，2，6重复出现，1994=49…3，所以199个8相乘的末位数字是2，1991个位数字是1，所以，乘积123…19901991从右到左第一个不等于零的数字是2.
12. 因为第一个数=第二个数,所以第一个数：第二个数=：=3：10.又两数互质,所以第一个数为3,第二个数为10,从而这串数为：
3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055……
被3除所得的余数为：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，……按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8.
因为19918=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.
[注]解答此题应注意以下两个问题:
(1)由于两个数互质,所以这两个数只能是最简整数比的两个数；
(2)求出这串数被3除所得的余数后,找出余数变化的周期,但这并不是这串数的周期.一般来说,一些有规律的数串,被某一个整数逐个去除,所得的余数也具有周期性.
13. 因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，
4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.
因为34020=17,所以第340组正好写完第17个周期,第340组是(好,好).
[注]此题从题面上看是一个文字游戏,其实质是一个周期的问题:
四个四个地数
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
五个五个地数
14. 根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白……交替进行；乙按白、黑，白、黑……交替进行，如下图所示.
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由上图可知,甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即562=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现.并且在每一个周期中没有涂色的部分是
1+3+5+4+2=15(厘米)
所以,在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是
15´(300¸60)=75(厘米)
[注]请注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍,而不是5与6的最小公倍数.这是同学们容易犯的错误.