第二节 分式方程
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一、
二、
一、选择题
1.某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务。设原计划每天铺设管道x米，则可得方程
（A）
（B）
（C）
（D）
2.若关于
的方程
有增根，则
的值是
A．3 B．2 C．1 D．－1
3.学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是
(A) 40 (B) 30 (C) 24 (D) 20
4.方程
的解是
A．1 B．－1 C．±1 D．0
5.古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是
A．5 B．6 C．7 D．8
6.学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是
A. 40 B. 30 C. 24 D. 20
7.某乡镇改造农村电网，需重新架设4000米长的电线。为了减少施工对农户用电造成的影响，施工时每天的工作效率比原计划提高
，结果提前2天完成任务，问实际施工中每天架设多长电线?如果设原计划每天架设x米电线，那么列出的方程是
A．
―
=2
B．―=2
C．
―=2
D．―=2
二、填空题
1.某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道?设原计划每天铺设x米管道，根据题意得__ __.
2．某市政府切实为残疾人办实事,在区道路改造中为盲人修建一条长3000m的盲道,根据规划设计和要求,该市工程队在实际施工时增加了施工人员,每天修建的盲道比原计划增加50％,结果提前2天完成,则实际每天修建盲道___ _______m.
3.某同学解分式方程
=0，得出原方程的解为x=1或x=—1。你认为他
的解答对吗?请你作出判断，并说明理由__________ _______。
三、解答题
1.已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.
(1) 甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2) 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.
【解】 (1) 设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要(2x-10)天.
根据题意有 
=
，
解得x1=3(舍去)，x2=20.
∴ 乙队单独完成需要 2x－10=30 (天).
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.
(2) 设甲队每天的费用为y元，则由题意有
12y+12(y－150)=138000，解得y=650 .
∴ 选甲队时需工程费用650×20=13000，选乙队时需工程费用500×30=15000.
∵ 13000 <15000，
∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.
2.解方程：
．
【解】 x＝－4
3.已知：
，求A、B的值。
【解】
=
∴
∴
∴
4.2004年8月中旬，我市受14号台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重。为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。若甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工。问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？
【解】设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天。
依题意得
解之得
经检验知它们适合方程组和题意。
则甲队每天施工1200÷20=60m，乙队每天施工1200÷30=40m.
设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天，b天.
依题意得
解之得b≥35.
答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天，30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工15天。
5.解方程 
．
【解】去分母，得x―3－(4－x)＝－1．
去括号、整理，得2 x＝6．
解得 x＝3．
检验：将x＝3代入原方程，得
左边＝－1＝右边,
所以，x＝3是原方程的解．
6.解方程：
【解】
7．为了确保我市国家级卫生城市的称号，市里对主要街道的排污水沟进行改造. 其中光明施工队承包了一段要开挖96米长的排污水沟，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，问原计划每天挖多少米？
【解】设原计划每天挖x米，
由题意，得
解之，得
经检验，都是原方程的根，但工作效率为负数不合题意，
所以只取
答：原计划每天挖6米．
8. 用换元法解方程：
【解】设
，那么
， 于是原方程变形为 
方程的两边都乘以y，约去分母，并整理，得
解这个方程，得
，
当
时，
，即
解这个方程，得
当
时，
，即
因为
，所以，这个方程没有实数根
经检验，都是原方程的根。
原方程的根是
9．解分式方程：
【解】两边同时乘以 x ( x + 10 ) ,解得：6 x = x + 10
5 x = 10 x = 2
经检验：x = 2-是原方程的解
10.解方程：
【解】原方程可化为：
， ∴ x (2x+1)=2 (X+1)2
解得：
经检验可知，
的原方程的解。
11.某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成。
（1）求乙工程队单独做需要多少天完成？
（2）将工程分两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x、y均为正整数，且x<15，y<70，求x、y.
【解】（1）设乙工程队单独做需要x天完成。
则30×
+20(
)=1，解之得：x=100
经检验得x=100是所列方程的解，所以求乙工程队单独做需要100天完成。
（2）甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天
所以
，即：y=100 -
，又x<15，y<70
所以
，解之得：12<x<15，所以x=13或14，
又y也为正整数，所以x=14，y=65
12. 今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2)在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的
后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．
【解】(1)设规定时间为x天，则
解之，得x1=28，x2=2．
经检验可知，x1=28，x2=2都是原方程的根，
但x2=2不合题意，舍去，取x=28．
由24<28知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．
(2) 设甲、乙两组合做完成这项工程的5/6用去y天，
则
解之，得y=20(天)．(5分)
甲独做剩下工程所需时间：10(天)．
因为20+l0=30>28，
所以甲独做剩下工程不能在规定时间内完成；
乙独做剩下工程所需时间：20/3(天)．
因为20+20/3=26 
<28，
所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成．
所以我认为抽调甲组最好．
13.小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买些玩具去看望市福利院的孩子们。某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，结果他的压岁钱还余30％，于是小明又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10％。
(1)问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元；
(2)为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20％，问小明最多可比原计划多买几个小熊玩具。
【解】（1）小明原计划买21个小熊玩具；
（2）3个。
14.《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为。为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即人一时刻的车速都不能超过110千米/时。以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断。张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点。”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的10
，可没有超速违法啊。”李师傅超速违法吗？为什么？
【解】设李师傅的平均速度为x千米/时，则张师傅的平均速度为（20-x）千米/时，
根据题意，得 - =1
去分母，整理，得 x2- 20x- 8000=0
x1=100,x2=-80
经检验，x1=100,x2=-80都是所列方程的根，但x2=-80不符合题意，舍去。
∴x=100,
∴李师傅的最大时速是：100（1+10）=110。
∴李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法。
15.为了美化眉山市区环境，打造中国西部最美的外滩，欲将东坡湖进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供如下信息：
⑴ 若东坡湖首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。
⑵ 若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成全部清淤任务的一半；若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天。甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少天？
【解】 ⑴ 解：淤泥体积：1.2×104×0.4＝4800m3 甲公司的收费：18×4800＋5000＝91400元 乙公司的收费：20×4800＝96000元 91400元＜96000元
答:应请甲公司负责清淤工作。
⑵ 解：设单独完成清淤工作，甲公司需x天，乙公司需y天，根据题意得
解这个方程组②－①得
，即y＝2x－4 ③把③代入①得x2－9x＋8＝0 解之得x1＝8，x2＝1 当x＝1时，y＝2x－4＜0 不合题意
当x＝8时，y＝2x－4＝12 经检验x＝8，y＝12是方程组的解
答：单独完成清淤工作，甲公司需8天，乙公司需12天
16.去年年底，东南亚地区发生海啸，给当地人民带来了极大的灾难。听到
这个消息，某校初中毕业班中的30名同学踊跃捐款，支援灾区人民。其中女同学共捐款150元，男同学共捐款120元，男同学比女同学平均每人少捐款2元，男、女同学平均每人各捐款多少元?
【解】设男同学平均每人捐款x元。
依题意：
，解得：x=8（x= —1是增根）。
17.如图，小刚家、王老师家和学校在一条直路上，小刚与王老师家相距3。5千米，王老师家与学校相距0。5千米。近来，小刚父母出差，如果王老师骑自行车到小刚家接小刚上学，就比平时走路上班多用24分钟。已知骑自行车的速度是步行速度的3倍。
1问：王老师骑自行车的速度是多少千米22／小时？
2为了节约时间，王老师与小刚约定每天7：35从家里同时出发，小刚走路，王老师骑车，遇到小刚后，立即搭小刚到校。如果小刚和王老师走路的速度一样，王老师骑车的速度不变，请问他们能否在8：00钟前赶到学校？说明理由。
【解】（1）设王老师骑自行车的速度为
，由题意得
解得，
，经检验，是原方程的解，且符合题意。（未写检验不扣分）
王老师骑自行车的速度为15千米/小时
（2）答：能在8：00前赶到学校
设王老师与小刚相遇用了
小时，相遇后接小刚到校用了
小时，则由题意可
得：
解得：
能在8：00钟前赶到学校
选择题、填空题答案
一、选择题
1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B
二、填空题
1. 
2．750 3.不对。因为x=1是原方程的增根