高考理科数学三校联考试题
数学(理)试题
（满分：150分，考试时间：120分钟）
命题：林瑛 审核人：吴文彪
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.若
（ ）
A．
B.
C.
D.
2.等比数列
，若
（ ）
A. 4 B .16 C.32 D.64
3．已知集合
则有（ ）
A．
B．
C．
D．
4.对于平面
和直线m,n给出下列命题：（1）若
则m,n与成角相等；（2）若
,
，则
;(3)若
，则;(4)若m,n是异面直线，且,则n与相交;
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
5.设点P是函数
的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是
，则f(x)的最小正周期是（ ）
A．
B.
C.
D.
6.己知i,j是互相垂直的单位向量，a=i-2j,b=i
且a与b的夹角为锐角，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C. 
D.
7.观察地球仪上的中国地图版图，了解到福建福州位于北纬26°、东经118°，江苏南京位于北纬32°、东经118°，如果地球的半径为6370km，则这两地的球面距离约是（ ）
A. 38220km B. 21200km C. 667km D. 212km
8.若
且
。则实数m的值为（ ）
A．1 B.－ 1 C.－3 D.1 或－3
9. 对于抛物线C：y2=4x，我们称满足
的点M（x0,y0）在抛物线内部。若M（x0,y0）在抛物线内部，则直线
与曲线C （ ）
A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点
C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点 D．没有公共点
10.箱子里有５个黑球，４个白球，每次随机取出一球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出的是白球，则停止取球，那么第四次取球后停止取球的概率为（ ）
Ａ.
B.
C.
D.
11.若函数
在其定义域的子区间
上不是单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.定义在R上的函数f(x)对任意x都有
且f(1)=5，则f(2005)的值为（ ）
A．2006 B.2007 C.2008 D. 2009
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．己知x,y满足约束条件
则
的最大值是
。
14．对
数表定义运算如下：
则
。
15．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿，第二志愿、……第五志愿的顺序填进志愿表，若专业A不能作为第一、二志愿， 则他共有 .种不同的填法。
16．有一正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为a，现要用一张正方形的包装纸将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长为 。
三、解答题：（本大题共6小题，前5题每小题12分，最后一题14分，共74分）
17．己知
的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，
向量
且
，
（1）求角A；
（2）若
,求
的值。
18．数列
的前n项和
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n项和
。
19.某工厂生产某种零件，每个零件成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0．02元，但实际出厂价不能低于51元。
（１）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为５１元；
（２）设一次订购量为x个零件，实际出厂单价为Ｐ元，写出函数
的表达式；
（３）当销售商一次订购５００个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购１０００个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
20.在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1
平面ABC，
，
（1）求点A1到平面ABC的距离；
（2）求AA1与平面AB1C所成角的大小；
（3）己知点D满足
，
在直线AA1上是否存在点P，使得
DP平面AB1C，若存在，求出DP到平面
AB1C的距离，若不存在，说明理由。
21. 已知椭圆
两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足
=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值.
22．己知
，点Ａ(s,f(s)),B(t,f(t))，点Ｏ是坐标原点
(1)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间；
（２）若函数f(x)的导函数
满足当
时
恒成立，求f(x)的解析式；
（３）若
，函数f(x)在x=s和x=t取极值，且
,证明
不可能垂直．
数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题：ACCAA BCDDB CD
二、填空题：13．7
14. 
15. 1800 16.
三、解答题：
17．解：(1)由条件可得
………………………2分
化简可得
，………………………………………………………4分
又因为
，所以
……………………6分
（2）条件由正弦定理可得：
，…………7分
又由（1）
，所以
，代入可得
，可化为
，……………………………………10分
可得：
即
。…………………12分
18．（1）由条件，当n=1时，
………………………………………1分
当
时，
即
，…………………………………………………4分
所以数列的通项公式
…………………………………5分
（2）由（1）可得
所以当n=1时，
；………………………………………7分
当时，
=
………………………10分
所以，
,即
………………………………12分
19．（1）设一次订购x个零件，零件的实际出厂单价恰好为51元。则有
解得x=550………………………………………………4分
(2)当
时，单价为60元，
当
时，
，
当
时，P=51，
综上，
…………………………………8分
（3）设一次订购x个零件，工厂获利L元，则
L=
…………………………10分
x=500时，L=6000，当x=1000时，L=11000
即当销售商一次订购５００个零件时，该厂获得的利润是6000元？如果订购1000个，利润是11000元。…………………………………12分
20.解：（1）作
于O，
，
为正三角形，
所 以O为AC中点，又
，
∴
，∴
为点A1到平面ABC的距离；…………4分
（2）以O为原点，如图建立直角坐标系，则
、
、
C（0，1，0）
,
,设
是平面
的法向量，AA1与平面AB1C所成二面角为
，则由
…………………6分
所以AA1与平面AB1C所成二面角的大小为
；………………8分（若求得是余弦值扣1分，得7分）
（3）由
假设存在符合条件的点P
，则
，
的条件是
即
，又因为P在AA1上，
，由
，得
，
所以存在点P
，即P恰为A1点，使得DP平面AB1C。………………10分
DP1到平面AB1C的距离d就是A1到平面AB1C的距离，
所以DP到平面AB1C的距离为
。……………………………………12分
21．解：（1）由题可得F1(0, 
), F2(0, －), 设P(x0, y0)(x0>0, y0>0)
则
………………………………………2分
在曲线上，则
，
…………………3分
则点P的坐标为（1，）……………………………… （4分）
（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k>0)
则BP的直线方程为：y－=k(x－1)
……6分
所以：AB的斜率
为定值…………………………9分
（3）设AB的直线方程：
……………10分
当且仅当m=±2∈（－2，2）取等号
∴三角形PAB面积的最大值为………………………………（12分）
22（1）由
，所以
…2分
可得
，所以单调递增区间为
…………4分
（2）由己知可得
，据条件有：
即
……………………………………6分
由前两式同向相加可得：
，又第三式成立故有
，代入前两式可得
，所以
；…………8分
这时函数f(x)的导函数
，当时，
，即恒成立。所以
。…………………………………9分
（3）因函数f(x)在x=s和x=t取极值，所以
=0有两解s、t，
由韦达定理：
，………………………11分
又，所以，
假设垂直，
即
又所以
即
从而有
即
………13分
又，
，
这与矛盾，故不可能垂直．…………14分