08高考理科数学二轮复习概率与统计实效性训练（一）
一. 考点回顾：1.两个原理及排列组合的理解和应用；
2.排列数与组合数的公式与性质；
3.二项式定理的通项公式与赋值法的理解及应用；
4.等可能性事件，互斥事件（对立事件），独立事件（独立重复试验）的意义及其概率的求法；
5.（理科）离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的求法和实际意义；
6.频率分布表及频率分布条形图、直方图的理解和应用；
7.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的操作方法以及它们的区别与联系；
8. （理科）正态分布与正态曲线的概念与性质的理解并掌握简单应用；
9. （理科）了解线性回归的概念及性质；
（一）、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？
（解：
种）
（二）、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
表示.
⑷排列数公式：
注意：
规定0! = 1
规定
2. 含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk ,
则S的排列个数等于
.
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数
又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数
.
（三）、组合.
1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
⑵组合数公式：
⑶两个公式：①
②
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有
一类是不含红球的选法有
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C
，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C
种，依分类原理有.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
（四）、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某
个元素必相邻的排列有
个.其中
是一个“整体排列”，而
则是“局部排列”.
又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为
.
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有
.
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有
.
注：①③区别在于①是确定的座位，有
种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？
（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤
时有意义.
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有
种，
个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有
种排列方法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）
.
⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有
.
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有
（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？
（
）
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有
，当n – m+1 ≥m, 即m≤时有意义.
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：
的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为
显然
，故（
）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解
，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数
.
注意：若为非负数解的x个数，即用
中
等于
，有
，进而转化为求a的正整数解的个数为
.
⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有
.
例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
固定在某一位置上：
；不在某一位置上：
或
（一类是不取出特殊元素a，有
，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略，排列
；组合
.
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列
；组合
.
iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列
；组合
.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为
（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以
.
例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为
.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为
②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为
例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：
种.
若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有
种
③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为
.
例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为
④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为
…
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为
若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为
.
（五）、二项式定理.
1. ⑴二项式定理：
.
展开式具有以下特点：
① 项数：共有
项；
② 系数：依次为组合数
③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
展开式中的第
项为：
.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
I.
当n是偶数时，中间项是第
项，它的二项式系数
最大；
II.
当n是奇数时，中间项为两项，即第
项和第
项，它们的二项式系数
最大.
③系数和：
附：一般来说
为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当
时，一般采用解不等式组
的系数或系数的绝对值）的办法来求解.
⑷如何来求
展开式中含
的系数呢？其中
且
把
视为二项式，先找出含有
的项
，另一方面在
中含有
的项为
，故在中含的项为
.其系数为
.
（六）、概率.
1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是
，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率
.
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：
.
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.
注意：i.对立事件的概率和等于1：
.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但
.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有
，因此有
.
推广：若事件
相互独立，则
.
注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与
与B，
与
也都相互独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：
.
4. 对任何两个事件都有
（七）、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则
也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，
是连续函数或单调函数，则
也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
ξ取每一个值
的概率
，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
|
|
|
| … |
| … |
| P |
|
| … |
| … |
有性质①
；
②
.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：
即
可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
[其中
]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记
.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“
”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为
，事A不发生记为
，那么
.根据相互独立事件的概率乘法分式：
于是得到随机变量ξ的概率分布列.
|
| 1 | 2 | 3 | … | k | … |
| P | q | qp |
| … |
| … |
我们称ξ服从几何分布，并记
，其中
5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取
件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为
.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定
＜
时
，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为
.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数
的分布列可如下求得：把
个产品编号，则抽取n次共有
个可能结果，等可能：
含
个结果，故
，即～
.[我们先为k个次品选定位置，共
种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，
，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
（八）、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
|
|
|
| … |
| … |
| P |
|
| … |
| … |
则称
为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量的数学期望：
①当
时，
，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当
时，
，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当
时，
，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
| ξ | 0 | 1 |
| P | q | p |
⑵单点分布：
其分布列为：
.
⑶两点分布：
，其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布：
其分布列为～
.（P为发生的概率）
⑸几何分布：
其分布列为～
.（P为发生的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为
时，则称
为ξ的方差. 显然
，故
为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量的方差
.（a、b均为常数）
| ξ | 0 | 1 |
| P | q | p |
⑵单点分布：
其分布列为
⑶两点分布：
其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布：
⑸几何分布：
5. 期望与方差的关系.
⑴如果
和
都存在，则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化：
⑷
（因为为一常数）
.
四、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间
内的概率等于它与x轴.直线
与直线
所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“
”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：
. （
为常数，且
），称ξ服从参数为
的正态分布，用～
表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：
.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线
对称.
③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当
＜
时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当
一定时，曲线的形状由
确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为
，则称ξ服从标准正态分布. 即～
有
，
求出，而P（a＜
≤b）的计算则是
.
注意：当标准正态分布的
的X取0时，有
当的X取大于0的数时，有
.比如
则
必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通
常用
表示，且有
.
二.高考命题预测与分析：考查一至二道客观题（5-10分）和一道解答题（12分）难度为中低档题
三.考点针对性训练：
客观题部分：
（一）. 两个原理及排列组合的理解和应用；
1．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．192种
2．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
3．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
4．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
5．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）
Ａ．
个 Ｂ．
个 Ｃ．
个 Ｄ．
个
6．（四川理科第10题）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
7．（福建文科第12题）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“
”到“
”共
个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“
”或“
”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ C ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．（广东理科第7题、文科第10题）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(
件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为（ C ）
A．18 B．17 C．16 D．15
9．（辽宁文科地第12题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第
个数为
，若
，
，
，
，则不同的排列方法种数为（ B ）
A．18 B．30 C．36 D．48
10．（全国Ⅰ卷理科第13题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有___
__种。（用数字作答）
11．（重庆理科第15题）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_____
______种。（以数字作答）
12．（重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 288 。（以数字作答）
13．（陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 
种.（用数字作答）
14．(浙江文科第16题)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是______
____(用数字作答)．
15．（江苏第12题）某校开设9门课程供学生选修，其中
三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）
16．（辽宁理科第16题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 
种（用数字作答）．
17．（宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 
种．（用数字作答）
18.已知A={a,b,c},B={-5,0,5},
是A到B的映射，则满足
的映
射共有 7 个。
19、在区间
中随机的取出两个数，则两数之和小于
的概率是 0.68
20．5个大小都不同的实数，按如图形式排列，设第一行中的最大数为a，第二行中的最
大数为b，则满足a<b的所有排列的个数为(B)
A．144 B．72
C．36 D．24
21.4名男生与5名女生站成一排，要求4名男生的顺序一定，5名女生的顺序也一定，不同的站法总数为(A)
A．126 B．186 C．3024 D．15120
22．用4种不同的颜色对圆上依次排列的
，
，
，
四点染色，每个点染一种颜色，且相邻两点染不同的颜色，则染色方案的总数为(C)
A．
B．
C．
D．
23、如图，点P1，P2，P3，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点．从点P2，P3，…，P10中选出3个不同点，使它们与顶点P1在同一个平面上，共有 33
种不同选法．
24．有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为 （D）
(A) 168 (B) 84 (C) 56 (D) 42
25、两个实数集
，若从A到B的映射使得B中每个元素都有原象，且
，则这样的映射共有（ B）个
A、
B、
C、
D、
（二）. 二项式定理的通项公式与赋值法的理解及应用；
1．（全国Ⅰ卷理科第10题）
的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（重庆理科第4题）若
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A10 B.20 C.30 D.120
3．（重庆文科第4题）
展开式中
的系数为（ B ）
（A）15 （B）60 （C）120 （D）240
4．（湖北理科第1题）如果
的展开式中含有非零常数项，则正整数
的最小值为（ B ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
5．(浙江文科第6题)
展开式中的常数项是（ C ）
(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84
6．（江西理科第4题）已知
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为
，则等于（ C ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7．（江西文科第5题）设
，
则
的值为（ A ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．（全国Ⅱ卷理科第13题）
的展开式中常数项为
．（用数字作答）
9．（天津理科第11题）若
的二项展开式中的系数为
，则
（用数字作答）．
10．(安徽文科第12题)已知
,
则(
的值等于
.
11．（辽宁文科第14题）
展开式中含
的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）．
12．若
的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为（C
）
A．462 B．252 C．210 D．10
13．已知
-5
14.设
（其中为正奇数）则
-1
；
15．设an(n＝2,3,4…)是(3＋
)n的展开式中x的一次项的系数,则
(
＋
＋
…＋
)的值是______18______．
（三）. .等可能性事件，互斥事件（对立事件），独立事件（独立重复试验）的意义及其概率的求法；
1.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.已知一组抛物线
，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（B）
（A）
（B）
（C）
（D）
3.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（D）
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
4．在五个数字
中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．0.3
5.位于坐标原点的一个质点
按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
，质点移动五次后位`于点
的概率是（
B ）
A．
B．
C．
D．
6．设集合
，分别从集合和中随机取一个数
和
，确定平面上的一个点
，记“点落在直线
上”为事件
，若事件
的概率最大，则的所有可能值为（ D ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
7．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
8．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ D ）
A．
B．
C．
D．
9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ B ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10．一袋中装有大小相同，编号分别为
的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ D ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
11．连掷两次骰子得到的点数分别为
和，记向量
与向量
的夹角为
，则
的概率是（
C ）
A．
B． C．
D．
12．某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）
13．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ A ）
A．
B． C．
D．
14.甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为
．(答案用分数表示)
15．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（A）
A．
B．
C．
D．
|
，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ D ）
A．
B．
C．
D．
11．（二月模拟）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为，且，∈
，若
，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为__4/9______．
14．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律
拼成若干图形，现将一粒豆子随机撒在第100个图
中，则豆子落在白色地砖上的概率是 _ ． 503/603 。
|
第1个 第2个 第3个
15.在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为 __________________________．
16．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2，3，4，5}内任取一个值，则此点正好在直线y＝x＋1上的概率为 
．
17.如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为
。（用分数表示）
18. 将甲、乙两颗骰子先后各抛掷一次，a,b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所掷出的点数，若M(a,b)落在不等式x2+y2≤m(m为常数)所表示的区域内，设为事件C，要使事件C的概率P(C)=1,则m的最小值为（72）
19. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为 
.
20. 甲. 乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者
等候另一人15分钟，过时即可离去，则两人会面的概率是
.
21、袋中装有编号从1、2、3、4的四个球，四个人从中各取一个球，则甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率（C）
A.
B.
C.
D.
22.9支足球队参加足球预选赛，把9支队伍任意等分成3组，试求两支“冤家队”恰好相逢在同一组的概率 .
23. 一台机床有
的时间加工零件A,
其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,
加工B时,停机的概率是
, 则这台机床停机的概率为( A
)
A. 
B. 
C. 
D. 
24．若m.n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如，134＋3802＝3936），则称（m,n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对(m,n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是 （ D ）
A、20 B、16 C、150 D、300
25.已知A箱内有1个红球和5个白球，B箱内有3个白球，现随意从A箱中取出3个球放入B箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放人4箱，共有___400______种不同的取法，又红球由A箱移人到B箱，再返回到A箱的概率等于__0.25_________.
26、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即刻离去，两人会面的概率为（ D ）
A、； B、； C、
；
D、
27、已知A箱内有红球1个和白球(n＋1)个，B箱内有白球(n－1)个(n∈N，且n≥2)，现随意从A箱中取出3个球放入B箱，将B箱中的球充分搅匀后，再从中随意取出3个球放入A箱，则红球由A箱移到B箱，再返回到A箱的概率等于（C）
A．
B．
C．
D．
28．正方体ABCD−A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个
点中,任取两点连成直线,在这些直线中任取一条，它与对角线
BD1垂直的概率为 ( C )
A．
B．
C．
D．
29、口袋中放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列
，
，如果
为数列的前项和，那么
的概率为（ B ）
A、
B、
C、
D、
（四）. （理科）离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的求法和实际意义；
1．两封信随机投入
三个空邮箱，则邮箱的信件数
的数学期望
．
2.随机变量的分布列如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
其中
成等差数列，若
，则
的值是
．
（五）. 频率分布表及频率分布条形图、直方图的理解和应用；
1．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ B ）
A．300 B．360 C．420 D．450
2．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ C ）
A．48米 B．49米 C．50米 D．51米
3.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取
袋，测得各袋的质量分别为（单位：
）：
| 492 | 496 | 494 | 495 | 498 | 497 | 501 | 502 | 504 | 496 |
| 497 | 503 | 506 | 508 | 507 | 492 | 496 | 500 | 501 | 499 |
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．0.25
4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；
第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为
，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（ A ）
A．0.9，35 B．0.9，45
C．0.1，35 D．0.1，45
5.从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
| 分组 |
|
|
|
|
|
|
| 频数 | 1 | 2 | 3 | 10 | 1 |
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．70
6．（二月模拟）高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
| 分组 | 频数 | 频率 |
|
| ① | ② |
|
| 0．050 | |
|
| 0．200 | |
|
| 12 | 0．300 |
|
| 0．275 | |
|
| 4 | ③ |
| [145，155] | 0．050 | |
| 合计 | ④ |
（1） 根据上面图表，①②③④处的数值
分别为 ；
（2） 在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；
（3） 根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在［129，155］中的概率.
．解（1） ①1, ②0.025,
③0.1， ④1
(2)直方图如右
(3)利用组中值得
平均数为=90
0.025+1000.05+1100.2+1200.3+1300.275+1400.05=122.5 ；
7、一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组频数为（ C ）
A.80 B.15 C.5 D.2
8. 一组样本数据，容量为150，按从小到大的组序分成5个组，其频数如下表：
| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 频数 | 28 | 32 | 28 | 32 | x |
那么，第5组的频率为 0.2
9．某地教育部门为了了解学生在数学答卷中的有关信息，从上次考试的10000名考生的数学试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图（如图）. 则这10000人中数学成绩在[140，150]段的约是 800 人. 
10、在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，
是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图的高为h，则a-b等于。©
A.hm B.
C.
D.h+m
（六）. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的操作方法以及它们的区别与联系
1.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（C）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2.某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．50
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 6 .
4． 从2008名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 
．
5． 某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为
（七）. （理科）正态分布与正态曲线的概念与性质的理解并掌握简单应用；
1.以
表示标准正态总体在区间（
）内取值的概率，若随机变量服从正态分布
，则概率
等于（B）
（A）
-
（B）
（C）
（D）
2．设随机变量服从标准正态分布
，已知
，则
=（
C ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
3．在某项测量中，测量结果服从正态分布
．若在
内取值的概率为0.4，则在
内取值的概率为
．0.8
4.已知随机变量服从正态分布
，
，则
（ A ）
A．
B．
C．
D，
5.随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜
的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
5．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，记φ(x)＝p(ξ<x)，给出下列结论：
①φ(0)＝0．5；②φ(x)＝1－φ(－x)；③p (｜ξ｜<2)＝2φ(2)－1。则正确结论的序号是____①②③_________
6.（理科）某校
名同龄学生的体重
服从正态分布
，
且
正态分布的密度曲线如图所示，若
～
体重属于正 常情况， 则这名学生中体重属于正常情况的人数约是（其中 
）(A)
A．
B．
C．
D．
7．设随机变量服从正态分布N（0，1），设
，则下列结论不正确的是(D)
A．
B．
C．
D．
（八）. （理科）了解线性回归的概念及性质；
1．（二月模拟）某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(
)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
| 气温（ | 18 | 13 | 10 | -1 |
| 杯数 | 24 | 34 | 38 | 64 |
由表中数据算得线性回归方程
中的
，预测当气温为
时，热茶销售量为
＿＿70＿＿杯．（回归系数
）
2、已知x、y之间的一组数据如下：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 8 | 2 | 6 | 4 |
则线性回归方程
所表示的直线必经过点 ( （1.5，5） ) .
3．已知x、y的取值如下表所示：
| x | 0 | 1 | 3 | 4 |
| y | 2.2 | 4.3 | 4.8 | 6.7 |
从散点图分析，y与x线性相关，且
，则
2.6
．
解答题部分：（理科题）：
| 分组 | 频数 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
| 合计 |
|
1．（本小题满分12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（II）估计纤度落在
中的概率及纤度小于
的概率是多少？
（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间
的中点值是
）作为代表．据此，估计纤度的期望．
2．(本小题满分12分)
袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，
取到一个白球得1分．现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球·
(Ⅰ)求连续取3次球，恰得3分的概率；
(Ⅱ)求连续取2次球的得分ξ的分布列及期望．
3．（二月模拟）盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，按３张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于２0分的概率．
4．（本小题满分12分）
某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯关时，需要回答两个问题，其中第一个问题回答正确得10分，回答不正确得0分；第二个问题，回答正确得20分，回答不正确得一10分．如果一位挑战者回答第一题正确的概率是0．8，回答第二题正确的概率为0．6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求这位挑战者总得分不为负分（即
）的概率；
（2）求这位挑战者回答这两个问题的总得分的概率分布和数学期望．
5. (本小题满分13分)
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.
（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望Eξ；
（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.
．
6．（本小题共13分）
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
．
．
7．(本小题满分12分)
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生
产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据
|
| | | | |
| | | | | |
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值：
)
8．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为
，
，
，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，
．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
9．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
10.（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．
表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；
（Ⅱ）求的分布列及期望
．
11.．（本小题满分12分）
如图，面积为
的正方形
中有一个不规则的图形
，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为
，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以
表示落入中的点的数目．
（I）求的均值
；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间
内的概率．
附表：
|
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12、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在第一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数．求：
（1）袋中原有白球的个数；（2）随机变量的数学期望；（3）甲取到白球的概率．
13．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆
元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获
元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．
14.（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望
，并求该商家拒收这批产品的概率.
15.（本小题满分12分）
有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为. 若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面.假定更换一个面需要100元，用ξ表示维修一次的费用.
（Ⅰ）求恰好有2个面需要维修的概率；
（Ⅱ）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.
16.．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
17．（本题满分12分）
有三个盒子，第一个盒里装有4个红球和1个黑球，第二个盒里装有3个红球2个黑球，第三个盒里装有2个红球3个黑球．如果先从这三个盒子中任取一个，再从中取出的盒子中任取3个球，以表示所取到的红球个数，求
（文科）
的概率及
的概率．
（理科）的概率分布列及其数学期望．
18.（本小题满分12分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
、
、
，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）
19.（本小题满分12分）
设和
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程
实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程有实根的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
20．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率
；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．
21. (12分) 一项"过关游戏"规则规定: 在第n 关要抛掷骰子n次, 若这n次抛掷所出现的点数之和大于2n－1＋1 (n∈N*), 则算过关.
(1)求在这项游戏中第三关过关的概率是多少?
(2) (理) 若规定n≤3, 求某人的过关数ξ的期望.
概率理科答案：
1．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）
| 分组 | 频数 | 频率 |
|
| 4 | 0.04 |
|
| 25 | 0.25 |
|
| 30 | 0.30 |
|
| 29 | 0.29 |
|
| 10 | 0.10 |
|
| 2 | 0.02 |
| 合计 | 100 | 1.00 |
 |
（Ⅱ）纤度落在
中的概率约为
，纤度小于1.40的概率约为
．
（Ⅲ）总体数据的期望约为
2.
3.解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，
则
（２）由题意有可能的取值为：２，３，４，５
所以随机变量的概率分布为：
| | ２ | ３ | ４ | ５ |
| Ｐ |
|
|
|
|
所以的数学期望为Ｅ＝
＋
＋
＋
＝
（３）＂一次取出的３张卡片所得分不低于２０分＂为事件Ｃ
答：
4．解：（1）如果两个题目均答错，得0+（一10）=一10分。
这位挑战者总得分不为负分的概率为
……………4分
（2）如果两个题目均答错，得0+（一10）=一10分．
如果两个题目一对一错，包括两种情况：
①第一个对，第二个错，得10+（一10）=0分；
②第一个错，第二个对，得0+20=20分；
如果两个题目均答对，得10+20=30分．
故的可能取值为：一10，0，20，30。
；
；
……………8分
所以的概率分布为
|
| 一10 | 0 | 20 | 30 |
|
| 0.08 | 0.32 | 0.12 | 0.48 |
根据的概率分布，可得的期望
……………12分
5．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．
解：（Ⅰ）的分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（Ⅱ）数学期望为
．
（Ⅲ）所求的概率为
6．（共13分）
解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为
．
（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．
（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知
；
；
的分布列：
|
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
的数学期望：
7. 解： (1)如下图
(2)
=32.5+43+54+64.5=66.5
=
=4.5
=
=3.5
=
+
+
+
=86
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)
8．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件
，
，
，
（1）设
表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为
，
所以
，
故
．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以
，
，
，
．
于是，
．
9．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且
，
．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
．
所以该人参加过培训的概率是
．
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布
，
，
，即的分布列是
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0.001 | 0.027 | 0. 243 | 0.729 |
的期望是
．
（或的期望是
）
10.解：
（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）的可能取值为
元，
元，
元．
，
，
．
的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（元）．
11．解：
每个点落入中的概率均为
．
依题意知
．
（Ⅰ）
．
（Ⅱ）依题意所求概率为
，
．
12、【解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知：
．
∴
，解得
或
（舍去），即袋中原有3个白球．……4分
（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5，
，
，
，
，
．
所以，取球次数的分布列为：
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
|
|
……8分
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到
白球”的事件为A，则
，
因为事件
两两互斥，所以
．……12分
13.（本小题13分）
解：设
表示第
辆车在一年内发生此种事故，
．由题意知，，独立，
且
，
，
．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ）的所有可能值为
，，
，
．
，
，
，
．
综上知，的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得
（元）．
解法二：设
表示第辆车一年内的获赔金额，，
则
有分布列
|
|
|
|
|
|
|
|
故
．
同理得
，
．
综上有
（元）．
14.本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ）可能的取值为
，
，
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
15.解：（Ⅰ）因为一个面不需要维修的概率为
，
所以一个面需要维修的概率为.
……3分
因此，六个面中恰好有2个面需要维修的概率为
. ……6分
（Ⅱ）因为～
，又
，
，，
，
，
，
，
所以维修一次的费用的分布为：
|
| 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 |
| P |
|
|
|
|
|
|
|
……10分
因为～，所以
元.
16．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件
相互独立，且
，
．
故取出的4个球均为黑球的概率为
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件
互斥，
且
，
．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
．
（Ⅲ）解：可能的取值为
．由（Ⅰ），（Ⅱ）得
，
，
．从而
．
的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
17．设
表示从三个盒子中取出第
个盒子时，
的概率，
；
∵从三个盒子中任取一个盒子的概率为
∴
=
=
=
（文科）∴
，
…12分
（理科）依题意知
，
=
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∴
18．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为
，则
，
，
，
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值为
，
，
，
．
的分布列为
|
| 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
．
解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，．
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）同解法一．
19.【标准答案】:（I）基本事件总数为
，
若使方程有实根，则
，即
。
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，；
当
时，
；
当
时，,
目标事件个数为
因此方程 有实根的概率为
(II)由题意知，
，则
，
，
故的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
的数学期望
(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程
有实根” 为事件N，则
，
，
.
20．解：（1）记
表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则
互斥，且
，故
于是
．
解得
（舍去）．
（2）的可能取值为
．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有
件，故
．
．
．
所以的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
21.解(1)设第三关不过关事件为A, 则第三关过关事件为 .由题设可知: 事件A是指第三关出现点数之和没有大于5.因为第三关出现点数之和为3,4, 5的次数分别为1,3,6知:
P(A)= = , ∴P()=1－ = .
(2)设第一关不过关的事件为B, 第二关不过关的事件为C.依题意, 得P(B)= = , P()=郝进制作
P( C) = = , P()=1－ = . ∵n≤3, ∴ξ的取值分别为0,1,2,3
∴P(ξ=0)=P(B)= , P(ξ=1)=P(·C )= ×=
P(ξ=2)= P(··A) = ×× =
P(ξ=3)= P(··) = ××=
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
故ξ的分布列:
郝 进制作
Eξ=0×＋1×＋2×＋3×=