08年高考数学第一模拟考试试题
数学试题(理科)
参考公式：
如果事件
互斥，那幺 球的表面积公式
其中
表示球的半径
如果事件相互独立，那幺 球的体积公式
其中表示球的半径
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，
那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率 
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 
= (
)
A.
B.
C.
D.
2. 若
，且
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．－
3. 已知
、
是不同的两个平面，直线
，直线
，命题
：a与b没有公共点；命题
：
，则
是的( )
A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
4. 若
的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x的整数次幂的项共有 （ ）
A．2项 B．3项 C．5项 D．6项
5. 函数
的图象恒过定点，若点在直线
上，其中
，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6. 等比数列{an}的首项a1=－1，前n项和为Sn,若
，则
Sn等于 ( )
C
2 D －2
7. 从1，2，3，…，20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为 ( )
A．
B．
C．
D．
8. 正三棱锥S—ABC中，M是SC的中点，
=0，若侧棱
，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是
A．36π B．64π C．144π D．256π
9. 已知双曲线
的离心率为
，若它的一条准线与抛物线
的准线重合。设双曲线与抛物线的一个交点为,抛物线的焦点为
，则
.
.
.
.
10.已知函数
上的最小值为－2，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 已知f(x)= x
,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m的取值范围是( )
A. (-1,1) B. (-2,3) (C) (-1,-2) (D) (-3,-2)
12. 对于函数
，令集合
，则集合M为（ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13. 设函数
的反函数为
，且
=a,则
__________
14. 设x，y满足
则该不等式组表示的平面区域 ,则z=2x+y的最大值是_____________.
15. 两个三口之家，拟乘两艘小游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有__________.
16. 如图，矩形ABCD中，DC=
，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是
.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）已知
,
,函数
.
(1)求
的单调递增区间； (2)若
，
=
,求
的值.
18.（本小题满分12分）某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.5，0.5.
(1)若有4位工人参加这次测试，求恰有2人通过测试的概率；
(2) 求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数
的分布列及E.
19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
（1）求
与平面A1C1CA所成角的大小；
(2)求二面角B—A1D—A的大小；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）已知函数f (x)
=lnx,g(x) =
，（a为常数），若直线l与y =f(x), y =g(x)的图象都相切，且l与y = f(x)的图象相切的切点的横坐标为1.
（1）求直线l的方程及a的值；
(2)
当 –2 ≤m <
时,求h(x)= f(x)—f
(x)[2g(x)- m +1]在[
,2]上的最大值.
21.（本小题满分12分）已知F1、F2是椭圆
的两个焦点，O为坐标原点，点P
）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足
；⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l: y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当
，且满足
时，求△AOB面积S的取值范围.
22.(本小题满分14分) 已知数列
满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设b
=
(n∈N
,n≥2), b
,
①求证：b
+b
+……+b< 3 ;
②设点M(n,b)((n∈N,n>2)在这些点中是否存在两个不同的点同时在函数
y =
(k>0)的图象上,如果存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
数学试题(理科)参考答案
一、选择题 (1)B (2) B (3) B (4) B (5) C(6)B (7)C (8)C(9) D(10) C(11) D(12) A
二、填空题 (13)-2 (14) 15
(15) 48 (16) 
三、解答题
17.解：（１）
……4分
由
所以的单调递增区间为
………6分
（２）由=
得：
∴
………8分
∴
=
…………12分
18.解：（1）每位工人通过测试的概率为
.…………2分
每位工人不能通过测试的概率为. …………4分
4位工人中恰有2人通过测试的概率为P = C
(
=
。…………6分
(2)的取值为1、2、3.
, 
, 
.…………8分
故工人甲在这次上岗测试参加考试次数
的分布列
|
| 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
…………10分
.…………12分
19. 解：（1）∵A1B1C1－ABC为直三棱柱 ∴CC1⊥底面ABC ∴CC1⊥BC
∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A1C1CA ………………2分
∴
为
与平面A1C1CA所成角
∴
与平面A1C1CA所成角为
……………4分
（2）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM
∵BC⊥平面ACC1A1 ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影
∴BM⊥A1G ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角……6分
平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
,
即二面角B—A1D—A的大小为
…………………8分
（3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD………10分
其位置为AC中点，证明如下：
∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 ， ∴B1C1//BC
∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ，F为AC中点 ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D ……11分
同理可证EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD …………12分
∵E为定点，平面A1BD为定平面 ,点F唯一
解法二：（1）同解法一……………………4分
（2）∵A1B1C1—ABC为直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得
C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）
C1（0，0，2） B1（2，0，2） A1（0，2，2）
D（0，0，1） E（1，0，2）………………6分
设平面A1BD的法向量为
……………8分
平面ACC1A1的法向量为
=（1，0，0） 
…9分
即二面角B—A1D—A的大小为
……………10分
（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，当且仅当
//
…………11分
… ……13分
∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点……12分
20. 解：（1）
，
，，
。
又切点为
的方程为
。……………2分
又
与
相切，由
得
…………………4分
(2)
h(x)= f(x)—f(x)[2g(x)- m +1]= lnx +
, …………………5分
当–2 ≤m <时，由
得
，
显然
，又
当
时，
，h(x)单调递增；（注意画草图，利用数形结合）
当
时，
，h(x)单调递减 ,
∴h(x)
=h(x)= -
.
当
时， h(x)= -.………6分
21.解：（1）
∴点M是线段PF2的中点 ∴OM是△PF1F2的中位线
,
又OM⊥F1F2 ∴PF1⊥F1F2
∴椭圆的标准方程为
=1………………5分
（2）∵圆O与直线l相切 
由
∵直线l与椭圆交于两个不同点，
, 设
，则
…………………………12分
22. (1) 解法一∵
∴
………4分
∴数列{
}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，即
……………6分
解法二、
……………………①
…………………………②
②－①得
为公比为2，首项为2的等比数列. …………4分
递推迭加得
…………………………6分
(也可用数学归法证明：
)
(1)
b==
=
≤
(n≥2)………8分
∴b+b+……+b
=1+
, n=1时,b=1<3 成立, 所以b+b+……+b< 3 .………10分
(2)
假设有两个点A(p,b
),B(q,b
)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,
即b=
, 
, ∴
……① ………12分
以下考查数列
，
的增减情况，
，
当n>2时, n2 －3n+1>0 ,所以对于数列{Cn }有C2>C3>C4>……>Cn>……,所以不可能存在p,q使①成立,因而不存在这样的两个点.……14分