高考数学试题精选（四）
卞志业 2008-1-17
1．（0711山东潍坊）已知命题p：
则下列判断正确的是 （ ）
A．p是真命题 B．q是假命题 C．
是假命题 D．
q是假命题
2．（0711山东烟台）偶函数
上是单调函数，且
在
，内根的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．（0712山东邹平）函数
上单调递减，则
的表达式为 （ ）
A．－
B． C．1 D．－
4. （0712山东邹平）由奇数组成数组（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），……，第n组的第一个数应是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．（0712山东邹平）已知
为三角形的一个内角，且
表示（
）
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线
6．（0712山东邹平）若△ABC的内角B满足sinB+cosB>0，sinB－tanB>0，则角B的取值范围为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．（0712重庆五校）将函数y=
(
)(
R)的图象上所有的点向左平行移动
个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为（ ）
A.
(
)(
R) B.(
)(R)
C.(
)(R) D.(
)(R)
8. （0712浙江五校）已知函数
，正实数
、
、
成公差为正数的等差数列，且满足
，若实数
是方程
的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（0712山东青岛）把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量
=（a，b），
=（1，－2），则向量与向量垂直的概率是
A．
B．
C．
D．
（ ）
10. （0712济宁三中）
已知点
构成的平面区域如图所示，
在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为
A．
B．
C．
D．
11.（0712济宁三中）给出下列四个结论：
①当a为任意实数时，直线
恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是
；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为
，则双曲线的标准方程是
；
③抛物线
；
④已知双曲线
，其离心率
，则m的取值范围是（－12，0）。
其中所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（0712山东邹平）正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=
，P是平面ABCD内一个动点，且P到直线A′D′的距离与点P到M的距离的平方差为1，则P的轨迹为 （ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
13．（0712山东青岛）已知△A′B′C′是水平放置的边长为a的正三角形△ABC的斜二测平面直观图，那么△A′B′C′的面积为 ；
14．（0712山东青岛）在样本的频率分布直方图中，共有n个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于另外n－1个小长方形面积和的
，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ；
15．（0712山东青岛）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线
的右焦点重合，则实数p= ；
16．（0712山东青岛）设△ABC中，
若△ABC的周长为6
时，则x的值为 .
17．（0712山东青岛）某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖。
（I）求中三等奖的概率；
（II）求中奖的概率。
18．（0711山东烟台）设函数
的图象过点P（0，1），且
的最大值是2，最小值为－2，其中
.
（1）求表达式；
（2）若射线
图象交点的横坐标，由小到大依次为
求
的值.
19．（0712山东邹平）已知，四棱锥P—ABCD的底面ABCD的边长为1的正方形，
PD⊥底面ABCD，且PD=1.
（1）求证：BC//平面PAD；
（2）若E、F分别为PB、PD的中点，求证：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角B—PA—C的余弦值.
20．（0711山东烟台）甲、乙两个粮库要向A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100t大米，乙库可调出80t大米，A镇需70t大米，B镇需110t大米，两库到两镇的路程和运费如下表：
| 路程/km | 运费/（元·t-1·km-1） | |||
| 甲库 | 乙库 | 甲库 | 乙库 | |
| A镇 | 20 | 15 | 12 | 12 |
| B镇 | 25 | 20 | 10 | 8 |
（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少t大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？
（2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？
21. （0712广东深圳）椭圆
的中心为坐标原点,焦点在
轴上,焦点到相应的准线的距离以及离心率均为
,直线
与轴交于点
,与椭圆交于相异两点
.且
.
（1）求椭圆方程;
（2）若
，求
的取值范围.
22．（0712山东邹平）设函数
（I）求证函数有两个零点；
（II）设
是函数的两个零点，求
的范围；
（III）求证函数的零点至少有一个在区间（0，2）内.
高考数学试题精选（四）答案
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 共12小题，每小题5分，满分60分．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | D | B | B | B | B | C | C | D | B | B | D | C |
二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
13. 
14. 32
_
15. 4
16. 
三、解答题: 本大题共6小题，其中17~21题每题12分，22题14分，满分74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
17．解：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球任选两个共有（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）六种不同的方法。 …………2分
（I）两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：（0，3），（1，2）。 …………4分
故
…………5分
（II）办法一：两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：（0，1） …………7分
两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：（0，2） …………10分
故
…………12分
办法二：两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：（0，3），（1，2）；
两个小球号码相加之和等于4的取法有1种：（1，3）；
两个小球号码相加之和等于5的取法有1种：（2，3）；
故
…………12分
18．（1）
………………3分
………………6分
（2）由题意，知
即
………………8分
的等差数列……………………10分
………………12分
|
|
19.解：方法1：（1）解：因为ABCD是正方形，所以BC//AD.
因为AD
平面PAD，BC
平面PAD，所以BC//平面PAD. ……………4分
|
所以PC⊥BC，设BC的中点为G，连结EG，FG，
则EG//PC，FG//DC.
所以BC⊥EG，BC⊥FG.
因为EG
FG=G，所以BC⊥面EFG.
因为EF面EFG，所以BC⊥EF.①
又设PC的中点为H，且E为PB中点，
连结DH，所以EG
BC，又BCAD，
且EGAD.所以四边形EGDF是平行四边形，所以EF//DH.
因为等腰直角三角△PDC中，H为底面PC的中点，
所以DH⊥PC，即EF⊥PC.②
因为PCBC=C，③
由①②③知EF⊥平面PBC. ……………8分
（②的证明也可以通过连结PF、FB，由△PFB为等腰三角形证明）
（3）理科解法1：
设PA的中点为M，连结MC，
依条件可知
△PAC中PC=AC，所以MC⊥PA.①
又PD⊥平面ABCD，∠BAD=90°，
所以AB⊥PA.
因为M、E均为中点，报以ME//AB.
所以ME⊥PA. ②
由①②知∠EMC为所求二面角的平面角. ……………11分
连结EC，在△MEC中，容易求出
所以cos∠EMC=
，
|
.
解法2：过点C作CS⊥平面ABCD，使CS=PD.
连结PS，SB，因为PD，AD，CD两两垂直，
且四边形ABCD为正方形，故容易证明几何
PAD—SBC为三棱柱，
（即以PAD为底面，以DC为高构造三棱柱
PAD—SBC）
设BS的中点为Q，PA中点为N，连结NQ，NC.
因为ABSP为矩形，N、Q分别为中点，
所以NQ⊥PA
又△APC中，AC=PC，N为中点，
所以NC⊥PA.
所以∠CNQ为所求二面角的平面角. ……………11分
因为BC=CS，所以CQ⊥BS，又面BCS⊥面ABSP，所以CQ⊥面ABSP，
因为NQ面ABSO，所以CQ⊥NQ.
在Rt△NCQ中，容易求出NQ=1，
所以cos∠CNQ=
，即所求二面角的余弦值是. ……………12分
方法2，如图，以点D为原点O，
有向直线OA、OC、OP分别为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，
（1）证明：因为
平面PAD的一个法向量为
rPAD=（0，1，0）
由
于是BC//平面PAD. ……………4分
（2）证明：因为
且
所以EF⊥平面PBC. ……………8分
（也可以证明
平行于平面PBC的一个法向量）
（3）解：容易求出平面PAB的一个法向量为
及平面PAC的一个法向量为
因为
，
所以
即所求二面角的余弦值是. ……………12分
20．设甲粮库要向A镇运送大米x吨、向B镇运送大米y吨，总运费为z，则乙粮库要向A镇运送大米（70－x）吨、向B镇运送大米（110－y）吨，目标函数（总运费）为
12×20×x+25×10×y+15×12×(70－x)+20×8×(110－y)=60x+90y+30200.
……………………2分
所以题目中包含的限制条件为
……………………5分
所以当
时，总动费最省，
（元），
即甲库要向A镇运送大米70吨，向B镇运送大米30吨，乙粮库要向A镇运送大米0吨，向B镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元.……………………8分
（2）在（1）中，
当
=0，y=100时，总运费最不合理
（元）
使国家造成不该有的损失2100元.………………11分
即最不合理的调运方案是甲粮库要向A镇运送大米0吨、向B镇运送大米100吨，乙粮库要向A镇运送大米70吨、向B镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.……………………12分
21．解：（1）设
设
，由条件知
，
，
故的方程为：
…………
（2）由
得
，
， 
…………
设与椭圆交点为
得
,
,
…………
因
即
消 
得
=0
整理得 
…………
时，上式成立； 
时，
因
，即
或
即所求的取值范围为
…………
22．（I）证明：
…………1分
有两个零点 …………4分
（II）若
的两根
…………6分
…………9分
（III）
由（I）知
…………10分
（i）当
又
内至少有一个零点 …………12分
（ii）当
,
在区间（1，2）内有一零点， …………13分
综合（i）（ii），可知函数在区间（0，2）内至少有一个零点 …………14分