08高考理科数学2月模拟考试试题
数学理科
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共55分）
一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分）
1．复数
=
A．－i B．I C．2
－i D．－2+i
2．函数的y=
（x≤－1）反函数是
A．y=－
（x≥0） B．y=（x≥0）
C．y=－（x≥） D．y=（x≥）
3．若函数f （x）=e xcosx，则此函数图象在点（1, f （1））处的切线的倾斜角为
A．0 B．锐角 C．
D．钝角
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
5．曲线y=2sin
和直线在y=
在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则P2P4等于
A．
B．2 C．3 D．4
6．已知α、β是平面，m、n是直线，则下命题不正确的是
A．若m∥n , m⊥α, 则n⊥α B．若,m⊥α, m⊥β, 则α∥β
C．若m⊥α, m∥n, n
β, 则α⊥β D．若m∥α, α
∩β=n则m∥n
7．设函数f
（x）是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f （2）>１，f （2008）=
，则a的取值范围是
A．（－∞, 0） B．（0, 3）
C．（0, +∞） D．（－∞, 0）∪（3, +∞）
8．设f
（x）= x2－6x+5，若实数x、y满足条件f （y）≤ f （x）≤0，则
的最大值为
A．9－4
B．1 C．3 D．5
9．已知点A,
F分别是椭圆
（a>b>0）的右顶点和左焦点，点B为椭圆短轴的一个端点，若
=0，则椭圆的离心率e为
A．
（－1） B．（
－1） C．
D．
10．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是
A．
B．
C．
D．
11．已知集合P={x5x－a≤0}， Q={x6x－b>0}，a, b∈N, 且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对（a, b）的个数为
A．20 B．30 C．42 D．56
第Ⅱ卷（非选择题, 共95分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
12．
的展开式中的常数项等于
；
13．已知
=1，
=，·=0, 点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设
=m+n（ m, n∈R）, 则m/n等于
;
14．编辑一个运行程序：1﹡1=x，，m﹡（n+1）=k+2，欲得到1﹡2007=2008的输出结果，则x的值为 ；
15．已知函数f （x）=
－log2x正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f （a） f （b）f
（c）<0,若实数d是方程f
（x）=0的一个解，那么下列四个判断：
① d<a; ②d>b; ③d<c; ④d>c中有可能成立的为 （填序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共79分）
16．（本小题满分12分）
设函数f （x）=2cosx （cosx+sinx）－1,x∈R
（1）求f （x）的最小正周期T；
（2）求f （x）的单调递增区间．
17．（本小题满分13分）
某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
18．（本小题满分14分）
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角A-BD-C的大小；
（3）求点C到平面ABD的距离．
19．（本小题满分14分）
已知数列{an}中，an=2－
（ n≥2，n∈N+）
（1）若a1=
，数列{bn}满足bn=
（ n∈N+），求证数列{bn}是等差数列；
（2）若a1=，求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．
（3）若1<a1<2, 试证：1<an+1< an<2
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若
=λ1
，
=λ2
，求证λ1+λ2为定值．
21．（本小题满分14分）
已知函数f （x）=ln（2+3x）－
x2 ．
（1）求f （x）在[0, 1]上的极值；
（2）若对任意x∈[
，]，不等式a－lnx－ln[ f
’（x）+3x]>0成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f （x）= －2x+b在[0, 1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．
1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．C
11．B
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
12．-32； 13．3； 14．-2004； 15．①②③
三、解答题：本大题共6小题，共79分．
16．
………… 6分
（1）
．
………… 9分
（2）由2kp – 
£ 2x + 
£ 2kp + , 得：kp – 
£ x £ kp + （k ÎZ）,
f （ x ） 单调递增区间是[kp – ，kp +]（k ÎZ）． ……………… 12分
17．（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为
、
，
则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。…………………………2分
，
，
。
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
|
| 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
……………………………4分
。……………………………………………………5分
∵
，
同理：
，
，
。
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
………………………8分
。…………………………………9分
（2）∵
，
。
（或
）。∴
。
∵
，
，
∴
。
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。…………………………………………………………………………………………13分
说明：只根据数学期望与方差得出结论，也给4分。
18．（1）设正三棱柱
—
的侧棱长为
．取
中点
，连
．
是正三角形，
．
又底面
侧面
，且交线为．
侧面．
连
，则直线
与侧面所成的角为
．
在
中，
，解得
．
此正三棱柱的侧棱长为
．
……………………5分
注：也可用向量法求侧棱长．
（2）解法1：过作
于
，连
，
侧面
．
为二面角
的平面角．
在
中，
，
又
，
．
又
在
中，
．
故二面角的大小为
．
………………………10分
解法2：（向量法，见后）
（3）解法1：由（2）可知，
平面
,平面
平面
，且交线为，
过作
于
，则
平面．
在中，
．
为中点，点
到平面的距离为
． …………14分
解法2：（思路）取
中点
，连
和
，
由
，易得平面
平面
，且交线为．
过点作
于
，则
的长为点到平面
的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由
可求．
解法4：（向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（2）解法2：如图，建立空间直角坐标系
．
则
．
设
为平面的法向量．
由
得
．取
又平面
的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的大小为
． …………10分
（3）解法4：由（Ⅱ）解法2，
点到平面的距离
＝
．
14分
19．（1）
，而
，
∴
．
∴{
}是首项为
，公差为1的等差数列．
………………… 5分
（2）依题意有
，而
，∴
．
对于函数
，在x＞3．5时，y＞0，且在（3．5，
）上为减函数．
故当n＝4时，
取最大值
＝3．
而函数
在x＜3．5时，y＜0，且在（
，3．5）上也为减函数．
故当n＝3时，取最小值
＝－1．
…………………… 9分
（3）先用数学归纳法证明
，再证明
．
①当
时，
成立；
②假设当
时命题成立，即
，
当
时，
故当时也成立，
综合①②有，命题对任意
时成立，即．
（也可设
（1≤≤2），则
，
故
）． ………………… 12分
下证：
．
所以，
成立 。
………………… 14分
20．（1）设椭圆C的方程为
，则由题意知b = 1．
∴椭圆C的方程为 
…………………………………………………5分
（2）方法一：设A、B、M点的坐标分别为
易知F点的坐标为（2，0）．
，
将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得
………………………………………10分
…………………………………………………………12分
方法二：设A、B、M点的坐标分别为
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
……………………………………7分
……………………………………8分
又
…………12分
21．（1）
，
令
（舍去）
单调递增；
当
单调递减．
∴函数
在
上有极大值
（2）由
得
， …………①
设
，
，
依题意知
上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
…………… 10分
（3）由
令
，
当
上递增；
当
上递减
而
，
恰有两个不同实根等价于
所以,
． ………………
14分