08高考数学质量检测试题
数学试题
试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. （仅文科做）一粒骰子，抛掷一次，得到奇数的概率是（ ）
A.
B. 
C.
D. 
（仅理科做）若复数
为虚数单位.）是纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．－6 B． C．－2 D．6
2. 设
，
(0，1)，则满足条件0≤
≤1，0≤
≤1的动点P的变化范围(图中阴影部分含边界)是 （ ）
A B C D
3.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，
垂足为M，则点M的轨迹是 ( ）
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．双曲线的一支
4．定义在R上的偶函数
上是减函数，又
是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A. 
B.
C. 
D.
5.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，
平面PAD⊥平面ABCD.点M为平面ABCD内的一个动点，且满
足MP=MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为 （ ）
A B C D
6.方程
解的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. （仅文科做）有5个人拿着不同的水桶在一个水龙头前排队打水,前面的人接满后离开,后面的人才能继续接水. 甲接满水需1分钟,乙接满水需1.8分钟,丙接满水需1.5分钟，丁接满水需1.1分钟，戊接满水需1.2分钟.则所有人接水等待的时间总和的最小值为（ ）分钟.
A. 6.6 B. 14.6 C. 17.8 D. 19.8
（仅理科做）设随机变量
服从正态分布N（0，1）,
则
( ) A．
P B．1-P
C．1-2P D．-P
8.若对
时不等式
恒成立，则实数m的取值范围是 ( ）
A．（－2，3） B．（－3，3）
C．（－2，2） D．（－3，4）
9.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿
三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法
共有（ ）
A．30种 B．27种 C．24种 D．21种
10.设双曲线
的半焦距为c，离心率为
.若直线
与双曲线
的一个交点的横坐标恰为c，则k等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
的各项从小到大依次排成如下三角形状数表：
记
表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇
数2007对应于（ ）
A.
B.
C.
D.
12.小明为同学表演魔术，他用四张扑克牌摆成如图a
形状，然后蒙上眼睛，请其他同学将其中一张牌颠倒
过来，当他睁开眼时，看见如图b形状，小明自称他
能解读牌中散发的特异能量，并准确地指出了同学动
过的牌，你
能试试哪张牌被动过吗？（ ）
A.梅花5 B.黑桃6 C.红桃7 D.方块8
数学试题
注：请将选择题答案填入下表中，否则选择题计0分！
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．
13．
的展开式中常数项是
．
14. （仅文科做）设
.映射
使
得B中的元素都有原象.则这样的映射
有
个.
（仅理科做）曲线
在（1，0）点处的切方程为
.
15.已知实数
的最大值为
16.有下列四个命题： ①
的必要不充分条件； ②若直线
； ③函数
平移后得到的函数为
； ④函数
的最小正周期为
。
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）。
三．解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）在某次游艺活动中开展摸奖游戏，游戏规定：在装有黑球和红球的
箱子中，每次摸出一个球，若摸到红球，则中奖且摸奖结束；若摸到黑球则放回重摸，但每
人最多只能摸奖10次，已知每次摸到红球的概率为.
（1）在摸奖游戏中，求某人摸奖不超过3次且中奖的概率；
（2）在摸奖游戏中，求某人10次摸奖机会全部用完的概率.
18. （本小题满分12分）已知函数
为常数）的图象过点
。 （1）求函数
的值域； （2）若函数y=f(x)的图像按向量
作长度最短的平移后，其图象关于y轴对称，求向量
的坐标。
19. （本小题满分12分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第
个图的蜂巢总数.
(1) 试给出
的值，并求的表达式（不要求证明）；
(2) 证明：
.
20．（本小题满分12分）如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角
为30°，AE⊥BD于E，F为A1B1的中点.
（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDF与平面A1B所成二面角（锐角）的正切值；
（3）（此问文科不做仅理科做）求点A到平面BDF的距离.
21. （本小题满分12分）（仅文科做）已知
为椭圆
的右焦点，直线
过点且与双曲线
的两条渐近线
分别交于点
，与椭圆交于点
.
（1）若
，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。
（2）若
（
为坐标原点），
，求椭圆的离心率
。
（仅理科做）已知椭圆C过点
是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且PF、MF、QF成等差数列。 （1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
（3）设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应点P的坐标。
22. （本小题满分14分）已知函数
（1）
上存在单调递增区间，求的取值范围。
（2）若存在实数
，是否存在实数
处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a, b, c，若不存在，说明理由。
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | A | A | C | A | C | C | A | A | C | A | D |
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．
13． 20 14. （文科） 36 （理科） y=x-1 . 15. 14 16. ③
三、解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：⑴每次摸到的红球的概率为，则摸到黑球的概率为，前3次中奖的概率
……………………………………………………（6分）
⑵本次摸奖游戏中，未中奖的概率为
，
那么恰在第10次中奖的概率为
，10次摸奖机会全部用完的概率为
………………………………………（12分）
18.解：（1）因为函数
………………………（2分）
,
…………………………………………………………（6分）
（2）设函数
平移后的坐标为
则
，其图像关于y轴对称，
………………………（10分）
………………………（12分）
19. 解： ⑴
…………………………………………………（4分）
由于
因此，当
时，有
所以
.
又
，所以
. ……………………（7分）
（注：直接给出结果也给分）
⑵当
时，
. …………………（10分）
所以
. ……………………………………………………（12分）
20.解：（1）连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K. ∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直.
FK⊥BB1
又AE⊥BB1
∴ FK⊥B1D1
FK⊥平面BDD1B1，又AE⊥BD AE⊥平面BDD1B1
，因此KF∥AE.
B1D1∩BB1=B1 BB1∩BD=B
∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角， ………………………………（文科2分理科1分）
连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK，从而△BKF为Rt△.
在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中，由
得：
又BF=
. 
∴异面直线BF与AE所成角的余弦值为
. …………………………（文科6分理科4分）
（2）由于DA⊥平面AA1B ,连结AF，易知BF⊥AF,由三垂线定理知BF⊥DF.
∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角. ……………（文科8分理科6分）
在Rt△BAD中，AD=
又AF=，∴tan∠AFD=
故平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的正切值为
.……（文科12分理科8分）
（3）由（2）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B1B所成二面角的平面角所在的平面.
∴面AFD⊥面BDF.
在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离.
由AH·DF=AD·AF，得
所以点A到平面BDF的距离为
…………………………………………（理科12分）
另解：(1)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），A1(0,0,1),B（2，0，0），F(1,0,1), 
，
，
,
∴异面直线BF与AE所成角的余弦值为
.……………………………（文科6分理科4分）
(2)取平面AA1B1B的法向量为
，设平面BDF的法向量为
，
，
，
由
，即
，∴
取平面BDF的法向量为
，即
故平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的正切值为
………（文科12分理科8分）
(3) 设点A到平面BDF的距离为
,取平面BDF的法向量为,
，
即
所以点A到平面BDF的距离为
………………………………………（理科12分）
21. （文科）解：⑴
，是直线与双曲线两条渐近线的交点，
， 即
……………………………………2分
双曲线的焦距为4，
…………………………………………4分
解得，
椭圆方程为
………………………6分
⑵解：设椭圆的焦距为
，则点的坐标为
， 
直线
的斜率为
，直线的斜率为
，
直线的方程为
……………………………………………………………8分
由
解得
即点
设
由
， 得
即
点
在椭圆上，
…………………………………………10分。
，
∴
∴
∴椭圆的离心率是
。 ……………………………12分
21. （理科）解：（1）设椭圆C的方程为
，
由已知，得
所以椭圆的标准方程为
……………………………………………3分
（2）证明：设
知
同理
………………………………………………………………………4分
①当
，
从而有
设线段PQ的中点为
，
得线段PQ的中垂线方程为
………………………………6分
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
……………………………………………8分
（3）由
， ……10分
……………………………………12分
22.解：（1）当
………………………………………2分
上存在单调递增区间，即
上存在子区间使
（i）当
是开口向上的抛物线，
显然上存在区间使
适合 …………………4分
（ii）当
是开口向下的抛物线，
要使
,
…………………………………………………7分
………………………………………………8分
（2）不存在实数a, b, c满足题设条件，
事实上，由
故不存在实数a, b, c满足题设条件。 ………………………………………14分
注：以上答案及评分标准仅供参考，如有其它解法请酌情给分！