08高考数学立体几何练习题

08高考数学立体几何练习题

1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点．

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小．

2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，

侧棱底面，，，，　

为的中点.

　 （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，

并求出点到和的距离．

3．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中

．

　 （Ⅰ）求的长；

　 （Ⅱ）求点到平面的距离．

4．如图，在长方体，中，，点在棱上移动. （Ⅰ）证明：；

　  （Ⅱ）当为的中点时，求点到面的距离；

　  （Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为.

5．（2007福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，

D为CC₁中点．

（Ⅰ）求证：AB₁⊥面A₁BD；

（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的大小；

（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离．

6．（2007宁夏•理•19题）如图，在三棱锥中，侧面与

侧面均为等边三角形，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

7．（2007陕西•理•19题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

立体几何练习题参考答案

1．以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为

所求二面角的平面角.

2．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、

、、、

、，从而

设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为.

　 （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则

，由面可得，

　∴

即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.

3． 解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设.

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量，

的夹角为，则

∴到平面的距离为

4．解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则

（1）

（2）因为为的中点，则，从而，

，设平面的法向量为，则

也即，得，从而，所以点到平面的距离为

（3）设平面的法向量，∴

由　令，

∴ 依题意

∴（不合，舍去）， .

∴时，二面角的大小为.

5．解：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

．点到平面的距离．

6．解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．

的中点，

．．

故等于二面角的平面角．

，所以二面角的余弦值为．

7．解：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则，，，，，，，，

，．，，又，平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为，

则，，

又，，

解得

　平面的法向量取为，

，．二面角的大小为．