专题考案(4)向量板块 第3课 平移
(时间：90分钟 满分：100分)
题型示例
设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,
sin2x),x∈R.
(1)若f(x)=1-且x∈
,求x;
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(m<
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
分析 (1)由已知列出有关x的方程，再求解.
(2)两函数为同一函数，只需在m的允许范围内对应项系数相等.
解 (1)依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+
).
由1+2sin(2x+)=1-，得sin(2x+)=-
.
∵-
≤x≤,∴-≤2x+≤
,∴2x+=-,即x=-
.
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数
y=f(x)的图象.
由(1)得f(x)=2sin2(x+
)+1.∵m<,∴m=-,n=1.
点评 本题以向量为载体主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变形及图象变换的基本技能，考查学生的运算能力.
一、选择题(9×3′＝27′)
1．将A(3，4)按a＝(1，2)平移，得到的对应点为 ( )
A.(4，6) B.(2，2) C.(4，2) D.(2，6)
2．一函数图象沿向量a=(,2)平移，得到函数y=2cosx+1的图象，则原函数在［0,π］上的最大值为
( )
A.3 B.1 C.0 D.2
3．函数y=sin3x的图象按a=(,2)平移得到的图象的解析式为
( )
A.y=sin(3x+)+2
B.y=sin(3x-)-2
C.y=cos3x+2 D.y=-cos3x+2
4．若将函数y=f(x)的图象按向量a平移，使图象上点P的坐标由(1，0)变为(2，2)，则平移后的图象的解析式为 ( )
A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x+1)-2 D.y=f(x+1)+2
5．按一个向量a将点(-1,1)平移到点(2，-3)，则a的坐标是 ( )
A.(1,-2) B.(-3,4) C.(3，-4) D.(3,4)
6．函数y=f(x)的图象按a=(-,-2)平移得到的图象的解析式为y=cosx，则原函数的解析式是( )
A.y=cos(x+)
B.y=cos(x-)-2
C.y=cos(x+)-2
D.y=cos(x-)+2
7．把x-2y+c=0按向量a=(-1,2)平移，得到的直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则c等于( )
A.±
B.10或0 C.±5 D.13或3
8．为了得到y=f(-2x)的图象，可以把函数y=f(1-2x)的图象按向量a进行平移，则a等于( )
A.(1,0) B.(-1,0) C.(
，0)
D.(-,0)
9．已知f1(x)=cosx+sinx,f2(x)=
cosx+,f3(x)=cosx,则它们的图象经过若干次平移后可能出现
( )
A.f1(x),f2(x),f3(x)分别重合
B.f1(x),f2(x)重合但不能与f3(x)重合
C.f1(x),f3(x)重合但不能与f2(x)重合
D.f2(x),f3(x)重合但不能与f1(x)重合
二、填空题(5×4′＝20′)
10．按a=(m,n)平移，使方程4x2＋9y2+16x-18y-11=0变为4x2+9y2=36，则a= .
11．一抛物线F′按a=(-1,3)平移得到抛物线F，F的解析式为y=2(x+1)2+3,则F′的解析式为 .
12．抛物线y=4x2按a＝(1,2)平移后，其顶点在一次函数y=
b的图象上，
则b＝ .
13．将一次函数y=kx+m的图象按向量a=(-3,2)平移后得到的图象为l′；同样将y=kx+m的图象按向量b＝(4，-5)平移后得到的图象也为l′，则k= .
14．设向量
=(7,-5)，按a=(3,6)平移后得
，则的坐标为
.
三、解答题(3×10′＝30′)
15．已知函数f(x)=x2+(a+1)x+b的图象按向量a=(1,-1)平移后，所得图象过点(4，2)，且对一切实数x,f(x)≥x恒成立.求实数a、b的值.
16．将直线y=kx+b向右平移3个单位再向上平移2个单位，所得直线与原来的直线重合，求k的值.
17．已知抛物线y=x2-2x-8.
(1)求抛物线顶点的坐标;
(2)将这条抛物线平移到顶点与(2,-3)重合，求函数解析式;
(3)将这条抛物线沿x轴平移到通过原点时，求函数解析式.
四、思考与讨论(12′＋11′＝23′)
18．将函数y=-x2的图象进行平移，使得到的图象与函数y=x2-x-2的图象的两个交点关于原点对称，求平移后的解析式．
19．已知a=(1+cos2x,1),b=(1,m+sin2x)(x∈R,m为常数)，且y=a·b.
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)当x∈［0,］时，f(x)的最大值为3，求m的值；若此时函数y=f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象按向量c=(h,k)(h<)平移后得到，求实数h、k的值.
参考答案
1．A x′=3+1=4,y′=4+2=6.
2．C 原函数为y=2cos(x+)-1,其在［0,π］上的最大值为0.
3．D 
,解析式为y′-2=sin3(x′-),即y′=-cos3x′+2.
4．A 2=1+h,2=0+k,h=1,k=2.∴x′=x+1,y′=y+2,∴y′-2=f(x′-1).
5．C 2=-1+h,-3=1+k,∴h=3,k=-4.
6．D 原题可转化为求函数y=cosx的图象按向量b=(,2)平移后所得的图象解析式，故函数f(x)的解析式为y=cos(x-)+2.
7．C x′=x-1,y′=y+2，直线方程变为(x+1)-2(y-2)+c=0，即x-2y+5+c=0，
由d=
=r
c=±5.
8．D x′=x+h,y′=y+k,则1-2(x′-h)=-2x′，y′-k=y′,∴h=-,k=0.
9．A f1(x)=sin(x+),f2(x)=cosx+,f3(x)=cosx都可看作由cosx进行平移得来.
10．(2,-1) 4x2+9y2+16x-18y-11=04(x+2)2+9(y-1)2=36，令
11．y=2x2 F′的解析式为y=2［(x-1)+1］2+3-3,即y=2x2.
12．3 
,故新顶点为(1,2).∴2=×1+b,b=3.
13．-1 y=kx+m按(-3,2)平移后的方程为y′-2=k(x′+3)+m,y=kx+m按(4,-5)平移后的方程为
y′+5=k(x′-4)+m,∴3k+m+2=-4k+m-5,故k=-1.
14．(7,-5) 向量的平移不改变它的大小、方向．
15．解 f(x)的图象按a=(1,-1)平移后所得图象的解析式为y=f(x-1)-1=(x-1)2+（a+1）(x-1)+b-1，即y=x2+(a-1)x+b-a-1.由点（4，2）在这个函数图象上，得42+(a-1)×4+b-a-1=2,
即b=-3a-9 ①
对一切实数x,f(x)≥x恒成立等价于不等式x2+(a+1)x+b≥x,即x2+ax+b≥0的解集为R.
∴抛物线y=x2+ax+b上的所有点不能在x轴下方.
∴Δ=a2-4b≤0 ②
把①代入②消去b得（a+6）2≤0.∴a=-6.∴b=-3a-9=-3×(-6)-9=9.
16．解 依题意，y=kx+b按向量a=(3,2)平移，所得直线为y-2=k(x-3)+b，即y=kx+b-3k+2.
与y=kx+b比较，知-3k+2=0，∴k=
.
17．解 (1)∵y=(x-1)2-9,∴顶点坐标为(1,-9).
(2)设平移向量a=(h,k),则有
设原曲线上任意一点P(x,y)经平移后的对应点为P′(x′,y′),
则有
,代入原解析式，得y′-6=(x′-1)2-2(x′-1)-8y′
=x′2-4x′+1.∴平移后的解析式为y=x2-4x+1.
(3)令y=0,得x=4或-2,∴抛物线与x轴交点为(4,0)或(-2,0),若将(4,0)平移到原点(0,0)上,平移向量a=(-4,0).
∴
代入原解析式，得y′=(x′+4)2-2(x′+4)-8即y′=x′2+6′.
∴平移后函数解析式为y=x2+6x,同理可将(-2,0)平移到(0,0)时,解析式为y=x2-6x.
点评 利用平移公式，先求平移向量，再作平移.
18．解 ∵y=x2-x-2的图象是抛物线，其顶点为(,-
)，其关于原点的对称点是(-,)，这便是平移后抛物线之顶点．又由于平移后的抛物线由y=-x2平移得到，而其顶点(0,0)．
故平移向量a=(-,).
故所求解析式为y-=-(x+)2，即y=-x2-x+2.
19．解 (1)∵a=(1+cos2x,1)，b=(1,m+sin2x),
∴y=a·b=1+cos2x+m+sin2x=2sin(2x+)+m+1,即y=f(x)=2sin(2x+)+m+1.
(2)∵x∈［0,］,∴≤2x+≤
π,∴-≤sin(2x+)≤1,∴f(x)max=3+m=3,∴m=0.
此时f(x)=2sin(2x+)+1,函数y=2sin2x的图象按向量c=(h,k)平移后得到函数y=2sin［2(x-h)］+k的图象，即y=2sin(2x+)+1的图象.∵h<,∴h=-,k=1.