高考理科数学模拟示范卷(三)
数学(理科,江西专用)
江西金太阳教育研究所数学研究室 编
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.复数
的实部为( ).
A.
B.
C.
D.
2.已知函数
的反函数
的图象经过一个定点,则这个定点的坐
标为( ).
A.
B.
C.
D.
3.函数
是( ).
A.最小正周期为
的偶函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为
的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
4.若
,
,
与
的夹角为
,则
的值为( ).
A. 
B.
C.
D.
5.若点
在以
为顶点的
的内部运动(不包含边界),则
的取值范围( ).
A.
B.
C.
D.
6.已知椭圆
,顺次连结椭圆
的四个顶点,所得四边形的内切圆与长轴的两交点正好是长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率
等于( ).
A.
B.
C.
D.
7.若实数
满足
,则
关于
的函数的图象大致是( ).
8.四面体
中,已知
,
,
,面
与面
所成的二面角为,则四面体的体积为( ).
A.
B.
C.
D.
9.已知
,满足
,
,则有( ).
A.
B.
C.
D.
10.从由正数组成的集合
中随机地选出一个数字,且选取数字
的概率为
,下面给出四个集合：①
；②
；③
；④
.
则能当成集合的个数为( ).
A.
B.
C.
D.
11.若方程
(
为常数,
),则下列判断正确的是( ).
A.当
时,没有实根
B.当
时,有一个实根
C.当
时,有三个实根
D.当
时,有两个实根
12.用
,
分别表示
中的最大与最小者,有下列结论：
①
；
②
；
③若
,则
；
④若
,
则.其中正确结论的个数是( ).
A.
B.
C.
D.
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.
的展开式中所有奇次项系数的和为
.
14.函数
的单调递减区间为.
15.在圆
内,过点
有条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项
,最长弦为
,若公差
,则的取值集合为.
16.给出下列命题：①函数
与
是同一个函数；②在中,若
,则
；③
；④随机变量
,若
,则
.其中正确命题的序号为.(填所有正确命题的序号)
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知函数
的反函数为
,
.
(Ⅰ)若
,求的取值集合
；
(Ⅱ)设函数
,当
时,求函数
的值域.
18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在中,若
,求角的大小.
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角,函数
的图象按向量
平移后,对应的函数为偶函数,求
取最小值时的向量.
19.(本小题满分12分)某人居住在城镇的处,准备开车到单位
处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如
算作两个路段：路段
发生堵车事件
的概率为
,路段
发生堵车事件的概率为
).
(Ⅰ)请你为其选择一条由到的最短路线(即此人只
选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生
堵车事件的概率最小；
(Ⅱ)若记路线
中遇到堵车次数为随机变量
,求的数学期望
.
20.(本小题满分12分)已知三棱锥
中,
在底面上的射影
为的重心,且
.
(Ⅰ)求
与底面所成的角的大小；
(Ⅱ)当二面角
的大小最小时,求三棱锥的体积.
21.(本小题满分12分) 已知椭圆经过点
,离心率
,直线
与椭圆交于
两点(均异于点
),且有
.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求证：直线过定点.
22.(本小题满分14分)已知函数
关于点
成中心对称,且
.
(Ⅰ)求函数
的表达式；
(Ⅱ)设数列
满足条件：
,
.
求证：
.
高考理科数学模拟示范卷(三)
数学(理科,江西专用) 参考答案
江西金太阳教育研究所数学研究室 编
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | C | B | D | A | B | B | A | C | A | D | B |
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.
14.
15.
16.②
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知函数的反函数为,.
(Ⅰ)若,求的取值集合；
(Ⅱ)设函数,当时,求函数的值域.
解：(Ⅰ),
.又,∴
.
∴
,故集合
.
(Ⅱ)由(Ⅰ),
.设
,则
为增函数.
∵
,∴
,即
.故函数的值域为
.
18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在中,若,求角的大小.
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角,函数的图象按向量平移后,对应的函数为偶函数,
求取最小值时的向量.
解：(Ⅰ)∵
,∴
.∵为三角形的内角,∴
.
(Ⅱ)
.设
,则按向量平移后得,
.
当此函数为偶函数时,有
,∴
.又最小,
∴
,故
.
19.(本小题满分12分)某人居住在城镇的处,准备开车到单位处上班,若该地各路段发生堵车事
件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如
算作两个路段：路段发生堵车事件
的概率为,路段发生堵车事件的概率为).
(Ⅰ)请你为其选择一条由到的最短路线(即此人只
选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生
堵车事件的概率最小；
(Ⅱ)若记路线中遇到堵车次数为随机变量,求的数学期望.
解：(Ⅰ)由到的最短路线有条,即为：
,,
.
；
；
.故路线发生堵车事件的概率最小.
(Ⅱ)路线中遇到堵车次数
可取值为
.
；
；
；
. 故
.
20.(本小题满分12分)已知三棱锥中,在底面上的射影为
的重心,且.
(Ⅰ)求与底面所成的角的大小；
(Ⅱ)当二面角的大小最小时,求三棱锥的体积.
解：(Ⅰ)如图,连
并延长交
于点,依题意知,
就是与底
面所成的角,且为的中点.∴
,
.
在
中,
,∴
,故与底面所成的角
.
(Ⅱ)过点作
于
,连
,则
,∴
为二面角的平面角.
在
中,斜边上的高为
,∴
.
在
中,
.∴二面角
的最小值为
,当且仅当
.∴
.
21.(本小题满分12分) 已知椭圆经过点,离心率,直线与
椭圆交于两点(均异于点),且有.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求证：直线过定点.
(Ⅰ)解：易知
,
,
,∴
,
,
.故方程为
.
(Ⅱ)证明：设：
与椭圆的方程联立,消去得,
.
设
,则
.
,
∴
.若
,则：
,
∴直线过定点
.若
,则：
,∴直线过定点
,
即为点(舍去).若斜率
不存在,易知
,符合题意. 综上,直线过定点.
22.(本小题满分14分)已知函数关于点成中心对称,且.
(Ⅰ)求函数的表达式；
(Ⅱ)设数列满足条件：,.
求证：.
(Ⅰ)解：由题意,
,即
,∴
对一切实数恒成立.得
,又由得
,
.故函数的表达式为
.
(Ⅱ)证明：
,∴
.令
,
则
,
,
,∴
.
故
.