高考数学复习专题训练
数列
一、选择题：
1、设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
2、设等差数列
的公差
不为0，
．若
是
与
的等比中项，则
（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
3、已知
，
，
成等差数列，
成等比数列，则
的最小值是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4、在等比数列中,
,前项和为,若数列
也是等比数列,则等于（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D)
二、填空题：
5、等比数列的前n项和为，已知
，
，
成等差数列，则的公比为______．
6、设是公比为
的等比数列，其前项的积为
，并且满足条件 
， 
，给出下列结论：（1）
(2) 
(3) 
;(4)使
成立的最小自然数等于199。其中正确结论的编号是
。
三、解答题
7、在数列中，
，其中
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在
，使得
对任意
均成立．
8、已知数列{an}中，a1＝，点(n，2an＋1－an)(n∈N*)在直线y＝x上，
（1）计算a2，a3，a4的值；
（2）令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
（3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ．的值；若不存在，请说明理
二、向量与圆锥曲线专项训练
一、选择题：
1、直线
与抛物线
交于
两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为
，则梯形
的面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2、平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,则动点P的轨迹方程为（ ）
A y
=2x B y=2x 和 
C y=4x
D y=4x 和
3、 已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4、 已知点A(1，2)，过点D(5，-2)的直线与抛物线y2=4x交于B、C两点，则△ABC的形状是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定
二、填空题：
5、已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若△POF2是面积为1的正三角形，则b的值为
6、设过点
的直线分别与
轴的正半轴和
轴的正半轴交于
、
两点，点
与点
关于轴对称，
为坐标原点，若
，且
，则点的轨迹方程是
三、解答题
7、 已知点
,
是抛物线
上的两个动点,是坐标原点,向量
,
满足
.设圆
的方程为
(I) 证明线段
是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为
时，求p的值。
8、如图，已知直线
与抛物线
相切于点P(2, 1)，且与轴交于点A，定点B的坐标为(2, 0) .
（I）若动点M满足
，求点M的轨迹C；
（II）若过点B的直线
（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求
OBE与OBF面积之比的取值范围.
三、函数、导数与不等式专项训练
一.选择题
1、设函数
对一切实数x都有
，如果方程
恰好有4个不同的根，那么这些根之和为（ ）
A 0 B 2 C 4 D 8
2、已知函数
，对任意x∈
都有意义，则实数a的取值范围是 ( )
A
(0,
B (0,)
C ［,1
D (,
）
3、
（ ）
4、某学生对函数f(x)=xsinx进行研究后，得出如下结论：①函数f(x)在
上单调递增；②存在常数M＞0，使｜f(x)≤Mx对一切实数x均成立；③函数f(x)在（0，
）上无最小值，但一定有最大值；④点（，0）是函数y=f(x)图象的一个对称中心
其中正确的是（ ）
A ①③ B ②③ C ②④ D ①②④
二.填空题(把答案填在题目中的横线上)
5、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为
（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能
6、设函数
的定义域为R，若存在常数
，使
对一切实数均成立，则称为
函数，给出下列函数
④
⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数
均有
，其中是函数的序号为
。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
7、已知向量
，规定
，且
函数
在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量 
（1）求
的解析式；
（2）求的单调区间；
（3）是否存在正整数m，使得函数 
（
）在区间（m，m+1）内有且只有两个不同零点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
8、已知
是实数，函数
．如果函数
在区间
上有
零点，求的取值范围．
四、排列、组合、概率统计专题训练
一选择题
1、有6名新生，其中有3名优秀学生，现随机将他们分到三个班级去，每班2人，则每个班都分到优秀学生的概率是（ ）
A
B
C
D
2、某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（ ）
(A) (B)
(C)
(D)
3、已知在1升水中有2只微生物，任取0.1升化验，则取出的0.1升水中含有微生物的概率是（ ）
A．0．1 B．0.81 C．0.3 D．0.19
4、定义：一个没有重复数字的n位正整数（
，各数位上的数字从左到右依次成等差列，称这个数为期望数。则由1，2，3，4，5，6，7，8，9构成四位数中期望的个数为 （ ）
A．9 B．12 C．18 D．20
二填空题
5、名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
6、已知
的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是
。
则展开式中系数最大的项是
三解答题
7、在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.
（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望Eξ；
（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.
8、现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
、
、
;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是
,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为
,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时,
一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量
、
分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I)
求、的概率分布和数学期望
、
;
(II)
当
时,求
的取值范围.
五、三角函数向量专题训练
一、选择题
1．已知函数
（、
为常数，
，
）在
处取得最小值，则函数
是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点
对称 B．偶函数且它的图象关于点
对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称
2．如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
3．设两个向量
和
，其中
为实数．若
，则
的取值范围是（ ）
Ａ．[-6，1] Ｂ．
Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
4. 设O是△ABC内部一点，且
的面积之比为（ ）
A．2 B．
C．1 D．
二、填空题
5．如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且
,则的取值范围是
;
当
时,的取值范围是
. 
6、已知函数f(x)=sinx+cosx , 则当x∈[－π，π]时f(x)的值域为 .
三、解答题
7、如图，已知
是半径为1，圆心角为
的扇形，
是扇形弧
上的动点，平行于
， 
与交于点
， 
平行于，与交于点。
（1） 当
时，求点的位置，使矩形
的面积最大，并求出这个最大面积；
当
时，求点的位置，使平行四边形的面积最大，并求出这个最大面积。
8、已知
、
（1）求向量
的夹角；
（2）求、
的值.
六、空间向量与立体几何专题训练
一选择题
1．下面有四个命题：
各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；
底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；
顶点在地面上的射影既是底面三角形的内心又是外心的棱锥是正棱锥。其中正确命题的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D4
2．在棱长为1的正方体 
的底面
内取一点
，使
与
所成的角都是
，则线段的长为（ ）
A 
B
C
D
3．已知：
是夹在两平行平面
之间的两条线段，
与平面
成
角，则线段
的范围是（
）
A 
B
C
D
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
（A）
(B) 
(C) 
(D) 
二、填空题
5．已知
是两条不重合的两条直线，是两个不重合的两个平面，给出以下四个命题：
； ② 
；
③ 
； ④ 
．
其中所有正确命题的序号是 ．
6．根据以下三视图想象物体原形，可得原几何体的体积是 。
三、解答题
7、如图，O，P分别是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面中心，E是AB的中点，AB=kAA1，
(Ⅰ)求证：A1E∥平面PBC；
（Ⅱ）当k＝
时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
 |
8、如图，在正四棱锥P—ABCD中，E是侧棱PB的中点，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为
（I）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（II）求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（III）在侧面PAD上寻找一点F，使EF⊥侧面PBC，
试确定点F的位置，并证明你找出的点F满足EF⊥侧面PB
一、数列专题训练
一选择题BBBC.
二填空题
5、
6、（1）， （3），
（4）。
三、解答题
7、Ⅰ）由
，，
可得
，
所以
为等差数列，其公差为1，首项为0，故
，所以数列的通项公式为
．
（Ⅱ）解：设
， ①
②
当
时，①式减去②式，
得
，
．
这时数列的前项和
．
当
时，
．这时数列的前项和
．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
． ③
由知
，要使③式成立，只要
，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在
，使得
对任意均成立．
8、解 (1)由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，
同理a3＝，a4＝．
(2)因为2an＋1－an＝n，
所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝－an＋1－1＝，
bn＝an＋1－an－1＝an＋1－(2an＋1－n)－1＝n－an＋1－1＝2bn＋1，即＝
又b1＝a2－a1－1＝－，所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列．
(3)由(2)得，bn＝－×()＝－3×()，Tn＝＝3×()－．
又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×()，所以an＝n－2＋3×()n，
所以Sn＝－2n＋3×＝＋3－．
由题意，记cn＝．要使数列{cn}为等差数列，只要cn＋1－cn为常数．
cn＝＝＝＋(3－λ)×，
cn－1＝＋(3－λ)×，
则cn－cn－1＝＋(3－λ)×(－)．
故当λ＝2时，cn－cn－1＝为常数，即数列{}为等差数列．
二、向量与圆锥曲线专项训练参考答案
一、选择题： ADCA
二、填空题：5、 6、 
三．解答题
7、 (I)证明1:
，整理得: 
，设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
，整理得:
故线段是圆的直径，证明2:
，整理得:
……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则，即
去分母得:
点
满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径，
证明3:
，整理得:
……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径，
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
，
，又因
，
，
，
，
所以圆心的轨迹方程为
， 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值
,由题设得
，
.
解法2:
设圆C的圆心为C(x,y),则
，，又因
，，，
所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
，因为x-2y+2=0与无公共点,
所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为， 
将(2)代入(3)得
，
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
， 圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
，，又因
，，，
当
时,d有最小值,由题设得，.
8、解：（I）由得
， ∴
.
∴ 直线的斜率为
，
故的方程为
， ∴点A的坐标为（1，0）.
设
，则
（1，0），
，
，
由得
，
整理，得
.
∴动点
的轨迹C为以原点为中心，焦点在轴上，长轴长为
，短轴长为2的椭圆.
(II)如图，由题意知的斜率存在且不为零，
设方程为
①，
将①代入，整理，得
，由
得
设
、
，
则
②
令
， 则
，
由此可得 
，
，且
.
由②知 
，
.
∴ 
, 即
∵ 
，∴ 
，
解得 
又∵， ∴
，
∴OBE与OBF面积之比的取值范围是（
， 1）.
三、函数、导数与不等式专项训练参考答案
一.选择题
1、 D 提示：函数的图像关于直线
对称，故四个根两两关于直线，则四个根之和为8。
2、B 提示：当x∈时，真数恒大于零，即
时，函数
3、 B 
提示：
时，周期为1
当
时，函数如图所示
有三个解，然后图象上下平移
可得。
4、B 提示：①
在上符号不定，非单调；②
成立；③求导同上来判断；④为偶函数。
二.填空题
5、
6、①④⑤ 提示：① 显然
② 若
，则有
，即
，不存在这样的M。 ③ 当
时，
，不存在M。 ④当
时，一定成立；当时，
，也成立。 ⑤ 令
，奇函数，
，可得证。
三、解答题：
7、解：（1）由已知
…………………………………………………………………1 
………3′
…………………………………………………4′
（2）
由
＞0得，
上单调递增。
由＜0得，
上单调递减……………………8′
（3）函数
则
当
是单调减函数；
当
是单调增函数……………………11′
∴函数g（x）在区间
内分别 有唯一零点……………………13′
∴存在正整数m=1使得函数
在区间（1，2）上有且只有两个不相等的零点。
8、若
, 
,显然在上没有零点, 所以 
令 
得 
当 
时, 
恰有一个零点在
上;
当 
即 
时, 也恰有一个零点在上;
当 在上有两个零点时, 则
或
解得
或
因此的取值范围是 
或 
;
四、排列、组合、概率统计专题训练参考答案
一选择题CCDC
二填空题 5、48
6、
三解答题
6、解：（Ⅰ）的分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（Ⅱ）数学期望为
．
（Ⅲ）所求的概率为
8、(I).
的概率分布为
|
| 1.2 | 1.18 | 1.17 |
| P |
|
|
|
E=1.2
+1.18
+1.17
=1.18.
设
表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则
P(=0)= 
;
P(=1)=
;
P(=2)=
故的概率分布为
|
| 1.3 | 1.25 | 0.2 |
| P |
|
|
|
所以的数学期望为
E=
+
+
=
.
(II)
由,得:
因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.
五、三角函数与向量
一、DDAB
二、5、
，
6、
三7、解：（1）连结
，设
，
时，面积最大。
。
（2）连结
。
。
即
8、解：（1）
…………………………1分
……5分
又
…………………6分
（2）由（1）可知，
………………………8分
…………………………………………10分
将
代入
.………………12分
六、空间向量与立体几何参考答案
一选择题ACCA．
二填空题
5、③④
6、
三解答题
7：解法一：
(Ⅰ) 过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N A1B1、D1C1的中点，连MB，NC由四边形BCNM是平行四边形， ……………………… 2分
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB
平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， ………… 6分
设AA1=a，则AB=a，AF=
，AP=
，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin
。
………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=
。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥
为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为
的重心
………… 14分
8．解：方法一：
|
，
由已知得PO⊥平面ABCD，AO=
（I）取AD的中点M，连接MO、PM，
根据已知可得∠PMO为侧面PAD与
底面ABCD所成的二面角的平面角，…………2分
∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，
∴侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小为60°.…………………………4分
（II）连结OE，OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，………………………………………6分
而OE=PD=
∴异面直线PD与AE所成角的正切值为
.………………………………8分
（III）F在线段AD上，且AF=AD.……………………………………………9分
延长MO交BC于N，取PN的中点G，连结EG、MG，
⊥平面PMN，
∴平面PMN⊥平面PBC，
为正三角形，∴MG⊥PN，
∵平面PMN∩平面PBC=PN，
∴MG⊥平面PBC，∵EG∥MF，∴MF=MA=EG，
∴EF∥MG，∴EF⊥平面PBC.……………………………………………………12分
|
，
以射线OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，
如图建立空间直角坐标系，根据已知，
故A（
（I）可以求得底面ABCD的一个法向量
，
侧面PAD一个法向量
，
根据已知：侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为锐角，设为，则
，
即侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小为
.…………………………4分
（II）由已知得：
设PD与AE所成角为
即异面直线PD与AE所成角的正切值为.………………8分
（III）F在线段AD上，且AF=AD.……………………………………………9分
设
根据已知：P、A、F、D共面，即
，
∴F在线段AD上，且AF=AD.……………………………………………………12分