08届高考理科数学第二次摸底考试试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分
1．已知集合
= （ ）
A．
B．
C．
D．
2．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
| 组别 |
|
|
|
|
|
|
| 频数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 |
则样本在
上的频率为 （ ）
A．12% B．40% C．60% D．70%
3．函数
的单调减区间为 （ ）
A．
B．（－
，－2） C．（4，+） D．
4．已知直线m,n和平面
，那么m//n的一个必要但非充分条件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
成等角
|
的图象是 （ ）
6．对于函数
的代换，则总不改变函数
的值域的代换是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则p的值为 （ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
8．若半径为1的球与120°的二面角的两个半平面切于M、N两点，则两切点间的球面距离是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
恒成立的c的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知点
在不等式组
表示的平面区域上运动，则
的取值
|
A．[－2，－1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[1，2]
11．已知
是偶函数，当
时，
时，
恒成立，则
的最小值是 （ ）
A．1 B．
C．
D．
12．已知函数
的最大值为（ ）
A．6 B．13 C．22 D．33
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．在
的展开式中，含
的项的系数是
。
14．设
。
15．等差数列
项和为
=
。
16．把一个函数的图象按向量a=（3，－2）平移，得到的图像的解析式为
则原来的函数的解析式为
。
三、解答题：本小题共6小题，共计70分。
|
已知a=
b=
a·b。
（1）若
的最大值、最小值并求出对应的x值。
（2）求
上的递减区间。
18．（本小题满分12分）
同时抛掷15枚均匀的硬币一次，
（1）试求至多有1枚正面向上的概率；
（2）试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等？请说明理由。
19．（本小题满分12分）
已知数列
（1）求证：从
是等比数列；
（2）求
的值。
20．（本小题满分12分）
如图，矩形ABCD，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1。
（1）BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；
|
指出点Q的位置，并求出此时AD与平面
PDQ所成的角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角
Q—PD—A的正弦值。
21．（本小题满分12分）
设点
为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，
）的距离比点P到x轴的距离大。
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线
与点P的轨迹相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y0）是曲线C上一点，求过点Q的曲线C的切线方程。
22．（本小题满分12分）
已知a,b,c
R，且三次方程
有三个实根
（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
（2）若a，b，c均大于零，证明：x1、x2、x3都大于零；
（3）若
处取得极值，且
试求此方程三个根两两不等时c的取值范围。
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分
1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．D 8．D 9．D
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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．－10 14． 15．12 16．
三、解答题：本小题共6小题，共计70分。
17．（本小题满分10分）
解：（1）
2分
∵
∴
………………3分
∴当
…………4分
当
………………5分
（2）
………………7分
…………9分
∴的递减区间是
………………10分
18．（本小题满分12分）
（1）解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P
抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，
记至多有一枚正面向上的概率为P1，
则P1=P15（0）+P15（1）=
（7分）
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有P2=P15（1）+P15（3）+…P15（15）
（11分）
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚”的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚”的事件的概率为P3
∴相等（14分）
19．（本小题满分12分）
（1）由
………………3分
即
又∵
，
于是
而
………………5分
∴从
是等比数列…………6分
（2）因为
所以
是以1为首项，公差为2的等差数列…………9分
20．（本小题满分12分）
解：（1）若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD。……2分
矩形ABCD中，当a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQ⊥QD，………………3分
故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD；………………4分
（2）当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使∠AQD为直角，且Q为BC的中点。作AH⊥PQ于H，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△AHD中可求得
………………8分
（3）作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q—PD—A的平面角，且在Rt△PAD中可求得
………………12分
21．（本小题满分12分）
（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为
（4分）
（2）联立
设
（9分）
（3）曲线C即函数
故所求切线方程为
（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）由已知得，
比较两边系数，
得
…………2分
（2）由c>0，得
，
三数中或全为正数或一正二负。
若为一正二负，不妨设
得
又
=
这与b>0矛盾，所以
全为正数，…………6分
（3）令
有三个不等的实数根，则函数
有一个极大值和一个极小值，日极大值大于0，极小值小于0。
由已知，得
有两个不等的实根
又
…………9分
处取得极大值，在x=
处取得极小值。
故
要有三个不等的实数根，则必须
得
………………12分