充分条件与必要条件·典型例题
能力素质
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 利用韦达定理转换．
解 ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，
∴x1，x2的值分别为1，－6，
∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此选A．
说明：判断命题为假命题可以通过举反例．
例2 p是q的充要条件的是
[ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解
分析 逐个验证命题是否等价．
解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；
对B．p
q但q
p，p是q的充分非必要条件；
对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；
说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．
例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的
[ ]
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 通过B、C作为桥梁联系A、D．
解 ∵A是B的充分条件，∴AB①
∵D是C成立的必要条件，∴CD②
由①③得AC④
由②④得AD．
∴D是A成立的必要条件．选B．
说明：要注意利用推出符号的传递性．
例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为x－2＜3，那么甲是乙的
[ ]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 先解不等式再判定．
解 解不等式x－2＜3得－1＜x＜5．
∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5
∴甲是乙的充分不必要条件，选A．
说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．
当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．
例5 设A、B、C三个集合，为使A
(B∪C)，条件AB是
[ ]
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．
∴A(B∪C)．
但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，
显然A(B∪C)，但AB不成立，
综上所述：“AB”“A(B∪C)”，而
“A(B∪C)”“AB”．
即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．
说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．
例6 给出下列各组条件：
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：x＋y＝x＋y；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：x－1＞2，q：x＜－1．
其中p是q的充要条件的有
[ ]
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
分析 使用方程理论和不等式性质．
解 (1)p是q的必要条件
(2)p是q充要条件
(3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件．选A．
说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．
分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．
点击思维
例8 已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．
分析 ∵a≥bc＞d(原命题)，
∴c≤da＜b(逆否命题)．
而a＜be≤f，
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件．
答 填写“充分”．
说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．
例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A．0＜a≤1 B．a＜1
C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝
当a≠0时
综上所述a≤1．
即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．
说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．
例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？
分析 画出关系图1－21，观察求解．
解 s是q的充要条件；(srq，qs)
r是q的充要条件；(rq，qsr)
p是q的必要条件；(qsrp)
说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．
例11 关于x的不等式
分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a．
解 A＝{x2a≤x≤a2＋1}，B＝{x(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}
B＝{x2≤x≤3a＋1}．
B＝{x3a＋1≤x≤2}
说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．
学科渗透
要条件？
分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．
说明：分类讨论要做到不重不漏．
例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？
分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需
∴qp．
上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．
说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．
高考巡礼
例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么
[ ]
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．
分析2：画图观察之．
答：选A．
说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便