2006
Wenzhou Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition
2006青少年数学国际城市邀请赛
队际赛试题 2006/7/12 温州市
队名：___________________得分：__________________
1. 老师说：“要在一个三边长为2，2，2x的三角形内部放置一个尽可能大的圆，则正实数x的值该是多少？”
学生A说：“我想x＝1.”
学生B说：“我认为
.”
学生C说：“你们回答都不对！”
他们三人谁的回答是正确的？为什么？
解答：一方面三角形的面积＝
；另一方面，该三角形底边上的高为
，所以三角形面积
.可得
.
当
时，
； 当时，
.
取
，则
，所以是一个更好的选择.所以学生C的回答正确.
注：当
时，可取到r的最大值
.
2. 一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36˚，求原三角形最大内角的所有可能值.
解答：不妨设B＝36˚ .
（1）若剖分线不过点B.不妨设剖分线为AD，此时△BAD是
或者
的三角形.
若△BAD是的三角形，则△CAD或者是
第一个图，或者是
第二个图，或者第三、四个图.
（2） 若剖分线过点B.不妨设为BE，则△CBE必定是
，△ABE是
的三角形.
所以原三角形的最大内角可能是
.
3.
 |
四个单位正方形以边对边相连接而成，可以拼成如图五种不同的形状.用一片“L”形(图中第一个)分别与其余四个中的一片拼成轴对称图形，请绘出所有可能之组合.
解答：
4. 一片骨牌是由两个单位正方形以边对边相连接而成，在每个正方形内标记上数字1、2、3、4或5，所以我们共可得标号为11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌.将这15片骨牌排成一个如图的5×6的长方形，每片骨牌的边界已经擦除，请试着把这些骨牌的边界重新画出来.
解答：首先，注意到编号为55的骨牌一定是在矩形的中心，而编号22的骨牌只能是在右边界处.此时，右上角编号为3的骨牌必与右侧的2一起组成编号为23的骨牌..所以，右下角的2只能与5一起组成编号为25的骨牌，而这个2上面的3只能组成33骨牌..所以，可在图中，把剩下的33、23对之间用一条线分隔.第三行的3只能与其上的5组成35编号的骨牌.如左图.
这时，第一行的5不能与其左侧的3组成35编号的骨牌，只能与其下的1组成编号为15的骨牌.这使得左侧只能为13、34编号的骨牌，这样，左上角的骨牌为11和24.
在右下角，必须出现编号为12的骨牌，此时，其余的骨牌也就确定了.
5. “幸运数”是指一个等于其各位数码 (十进制) 和的19倍的正整数，求出所有的幸运数.
解答：设10 a＋b是一个至多两位数，方程 10 a + b = 19 (a + b) 仅当 a = b = 0时成立.所以，所有的幸运数至少是三位数.
假设一个幸运数有m位数，
，则该数至少为
，其数码和至多为 9m，所以，
.
当 m = 4时，
不成立.而 
，更不成立.因此，所有的幸运数都是三位数，由100a + 10b + c = 19a + 19b + 19c，知 9a = b + 2c.
当 a = 1时，可得 (b，c) = (1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0).
当 a = 2时，可得 (b，c) = (0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5).
当 a = 3时，可得 (b，c) = (9，9).
当 a > 3时，无解.
所以共有 11 个幸运数： 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285 和 399.
6. 甲和乙在一个n´n的方格表中做填数游戏，每次允许在一个方格中填入数字0或者1（每个方格中只能填入一个数字），由甲先填，然后轮流填数，直至表格中每个小方格内都填了数.如果每一行中各数之和都是偶数，则规定为乙获胜，否则当作甲获胜.请问：
(1) 当n＝2006时，谁有必胜的策略？
(2) 对于任意正整数n，回答上述问题.
解答：(1) 当n=2006时，后填数的乙有必胜策略.用1´2的多米诺骨牌对表格进行分割，使得每一行都由1003块多米诺组成，当甲对某块多米诺的一个中填数时，乙也在该多米诺中填数，并且使得这块多米诺中两个数之和为偶数.依此策略，乙可以使得表格的每一行中各数之和都是偶数.故乙获胜.
(2) 当n为偶数时，同上述操作，可知乙有必胜策略；当n为奇数时，甲有必胜策略：他可以先在第1行第1列的方格中写上1，然后对第1行中其余方格作前面的多米诺分割，采取同样的操作方式，可使表格中第1行中各数之和为奇数.
7. 设n为任意奇正整数，证明：
+
能被2006整除.
证明：因为
，所以为证结论成立，只需证
为奇正整数时，
能被2，17，59整除.显然，表达式能被2整除.
应用公式，为奇数时，
，
.
则由于
，
，所以能被59整除.
又1596－270＝1326＝17×78，1000－320＝680＝17×40，所以 能被17整除.
故结论成立.
8. 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列
：2, 3, 6, 7, 10, 11, … .
数列的前n项之和记为
，其中n=1, 2, 3, ….
求S=
的值.（其中
表示不超过x的最大整数）
解答：易知
，
，
，因此
，
，
所以
故
，
，从而
，于是
.
9. 
平面上，正三角形ABC与正三角形PQR的面积都为1.三角形PQR的中心M在三角形ABC的边界上，如果这两个三角形重迭部份的面积为S，求S的最小值.
解答：在正△PQR的三个顶点处截去三个全等的正三角形，得到一个面积为
的正六边形，则M是这个正六边形的中心.
若点M与△ABC的一个顶点重合，如左图，易知正六边形和△ABC的重迭部分面积是
.在中间的图形中，把△ABC绕着点M顺时针旋转，则始边所扫过的三角形和终边所扫过的三角形全等，所以两个三角形的公共部分面积是不变的.
若点M在△ABC的边上，不妨设在BC上，且靠近点C，如右图所示.，过点M作AC的平行线MN，交边AB于点N，则△BMN是正三角形..因为
，BM和MN都与正六边形相交，所以△BMN与正六边形的公共部分面积为.
当把正六边形恢复成原来的正三角形时，公共部分面积不会减小.，所以两个三角形公共部分面积的最小值为，如左图.
10. 设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m.
解答 由题设条件知：m－n=p，p是质数，则m=n+p，设mn=n(n+p)=
，其中x是正整数，那么
，
即
，
于是
，
注意到p为质数，所以
把两式相加得
，进而
，结合
,可得
，于是，质数p只能是67，71，73，79或83.从而，满足条件的m为1156，1296，1369，1600，1764.