绝密 ★ 启用前 (十二月号)
03-04年高三数学(文)全国统一标准测试(三)
命题范围：第七章 直线与圆的方程；第八章 圆锥曲线
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.共150分，考试时间120分钟.
参考公式：
sinαcosβ=
［sin(α+β)+sin(α－β)］
cosαsinβ=［sin(α+β)－sin(α－β)］
cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α－β)］
sinαsinβ=－［cos(α+β)－cos(α－β)］
sinα+sinβ=2sin
cos
sinα－sinβ=2cossin
cosα+cosβ=2coscos
cosα－cosβ=－2sinsin
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试题卷上.
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.方程y2＝ax＋b与y2＝ax2－b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是
2.设直线3x+4y－5=0的倾斜角为θ,则它关于直线x=3对称的直线的倾斜角是
A.
－θ B.θ－
C.π－θ D.θ－π
3.若直线mx－y+m=0与抛物线y=x2－4x+3的两个交点都在第一象限，则实数m的取值范围是
A.(0,3) B.（0,3
C.(1,+∞) D.［1,+∞）
4.若点P为抛物线(y+2)2=4(x－1)上任意一点，以P为圆心且与y轴相切的圆必过定点M，则点M的坐标是
A. (4,－2) B. (2,－2)
C. (1,－2) D. (2,2)
5.已知曲线C1:y=mx－1,C2:y=1 x≤1,要使C1与C2总有交点，则m的取值范围是
A.［－1，1］ B.（－∞，1）
C.［1，+∞
D.（－∞，－2］∪［2，+∞)
6.已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2夹角的范围为［0,
时，a的取值范围是
A. (
,1)∪(1,
) B.(,)
C. (0，1) D.(1,)
7.若直线mx+2ny－4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2－4x－2y－4=0的周长，则mn的取值范围是
A. (0,1) B.（0，1
C.(－∞,1) D.(－∞,1］
8.与y轴相切，且和曲线x2+y2=4(0≤x≤2)相内切的动圆圆心的轨迹方程是
A.y2=2(x+1)(0＜x≤1)
B.y2=4(x－1)(0＜x≤1)
C.y2=－4(x－1)(0＜x≤1)
D.y2=－2(x－1)(0＜x≤1)
9.若θ为三角形中最大内角，则直线l：xtanθ+y+m=0的倾斜角的范围是
A.(0,
)∪(,π) B.(,)∪(,
)
C. (0,)∪(, D.(0,)∪(,π)
10.实数x,y满足x2+y2－6x－6y+12=0，则
的最大值为
A.3
B.3+2
C.2+ D.
11.过双曲线
=1(a＞0,b＞0)的右焦点F，作渐近线y=
x的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围为
A.1<e<2 B.1<e<
C.e> D.e>2
12.1998年12月12日，太原卫星发射中心为美国摩托罗拉公司发射了两颗“铱星”系统通信卫星，卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆.设其近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为R千米，则通信卫星运行轨道的短轴长为
A.mn千米 B. 2mn千米
C.
千米 D.
2千米
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)
二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
13.抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(
,1)的直线l交抛物线于A、B点，且P恰为AB中点，则｜AF｜+｜BF｜=______.
14.若点P（1，1）和Q(2，2)到直线l：2(a2－2a)x+2(b2+4b)y+15=0的距离相等，且分别在l的两侧，则a+b=______.
15.过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A、B两点.若以AB为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线离心率是______.
16.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y(0≤y≤20).在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球半径的取值范围为______.
三、解答题(本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）
如图所示，某化工厂反应塔MQ上有温度计AB.已知｜AM｜=a,｜BM｜=b.在矩形QMNP的边MN上建观察点C较安全，观察温度计AB时视角越大越清晰.问C在线段MN上何处时，对温度计AB观察得最清晰？
18.（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，准线为x=±4，如果直线x－y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点.
（1）求椭圆的方程;
（2）求过左焦点F1且与直线x－y=0平行的弦AB的长.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线C:
－y=1和点P(2,m),过点P引直线l和双曲线交于P1、P2两点,若P恰为P１P２的中点,求m的取值范围.
20.（本小题满分12分）
有三块合金，第一块含60%的铝和40%的铬，第二块含10%的铬和90%的钛，第三块含20%的铝、50%的铬和30%的钛，现需要由它们组合成含钛45%的新合金，试求在新的合金中，含铬的百分比范围.
21.(本小题满分12分)
已知曲线C满足：曲线C任意一点到定点A（1，0）与定直线x=4的距离和等于5.
(1)求曲线C的方程；
(2)试判断曲线C上有几对不同的点关于定点P（3，0）对称，并求出这几对点的坐标.
22.（本小题满分14分）
在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上滑动.
(1)求△ABC的外心P的轨迹方程；
(2)设一直线l：y=
x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求
的最大值，并求此时b的值.
03-04年高三数学(文)全国统一标准测试(三)答案
一、1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.D
二、13.7 14.－1 15.2 16.(0,1)
三、17.解：要使体温计AB观察得最清晰，只要视角∠ACB最大即可，以NN，NQ所在直线为x轴，y轴，以N为坐标原点建立直角坐标系.设C(x,0),∠ACB=θ, 3分
则tanθ=
=
6分
∵a＞b,∴tanθ≤
8分
等号当且仅当x=
，即x=
时成立.
又θ∈(0,
),所以当x=
时，θ取最大值arctan.
故C点应在NN上距M为处. 12分
18.解：(1)依题意可设椭圆方程为
=1(a＞b＞0),
直线x－
y=0与椭圆交点为N(c,
c)(c为椭圆的半焦距)， 3分
则由
+
=1,
=4及a2－b2=c2,得a2=16,b2=8,c2=8.
所求椭圆方程为
=1. 6分
（2）易求得直线AB的方程为y= (x+2), 8分
代入=1,化简得x2+2x－4=0, 9分
由韦达定理及弦长公式得｜AB｜=6 12分
19.解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)
由
去y得
(1－2k2)x2－4k(m－2k)x－2［(m－2k)2+1］=0, 4分
依题意P(2,m)是P1P2的中点,
∴x1+x2=4,得km=1，① 6分
又Δ＞0,
∴16k2(m－2k)2－4(1－2k2)·（－2）［(m－2k)2+1］＞0
2k2(m－2k)2－(2k2－1)［(m－2k)2+1］＞0,
(m－2k)2－(2k2－1)＞0 8分
由①式有(m－
)2－(
－1)＞0,
m2+
－3＞0,(m2－2)(m2－1)＞0 10分
∴｜m｜＞或｜m｜＜1,
∴m的取值范围是(－∞,－)∪(－1,1)∪(,+∞). 12分
20.解：设在一个单位重量的新合金中，含第一、第二、第三块合金重量分别为x、y、z,则含铬百分比为W=0.4x+0.1y+0.5z. 2分
其中
消去z得
即
6分
（x,y）对应的点集为线段AB（包括端点）
由于W=0.4x－1.4y+0.75,即y=
x+
－
W ①
①表示的直线与线段AB有公共点， 10分
由此得直线截距的取值范围为
≤
－W≤
,得0.25≤W≤0.4,
即含铬的百分比范围是［0.25,0.4］ 12分
21.解：（1）设C上任一点P(x,y).
当x≥4时，(x－4)+
=5,
整理得y2=－16(x－5)(4≤x≤5). 3分
当x＜4时，(4－x)+ =5,
整理得y2=4x.(0≤x＜4),
所以，y2=
6分
（2）因曲线C关于x轴对称，所以直线x=3与C的两个交点A1、A2关于P（3,0）对称.
由
知A1(3,2
),A2(3,－2). 8分
又设B1(x1,y1),B2(x2,y2)关于P点对称，且分别在左右支上，
则由
10分
得B1(
,
)、B2(
,－)、D1(,－)、D2(, ).
共三对. 12分
22.解：（1）设B，C的坐标分别为
B(t,0),C(t－2,0),
则线段BC的中垂线方程为x=t－1, ① 1分
AB中点（
,
）,AB斜率为
(t≠0),
所以线段AB的中垂线方程为
y－=
(x－) ② 3分
由①②得：x2=6y－8(－2≤x≤2且x≠－1) ③ 5分
当x=－1时，t=0时，三角形外心P为(－1,),适合③；
所以P点的轨迹为x2=6y－8 6分
（2）由
得x2－2x－6b+8=0 ④
x1+x2=2,x1x2=8－6b 8分
所以｜EF｜=
=
,
又因为d=
, 11分
所以
=
=
13分
因方程④有两个不相同的实数根，设f(x)=x2－2x－6b+8
由题意(－2)2－4(8－6b)＞0得b＞
,∴
＜
. 13分
当=
时，即b=
时，(
)max=
.
所以的最大值是,此时b=. 14分
03-04年高三物理全国统一标准测试(二)答案
1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B
11.π
12.0.24 0.4
13.
14.2∶1
15.1000
16.＞ 11∶2
17.解析：（1）当汽车以最大速度20 m/s运动时，所受阻力与牵引力相等.
所以f=F′=
=80×103/20 N=4×103 N
设汽车加速运动时的牵引力为F，则由牛顿第一定律得：
F-f=ma
所以F=f+ma=4×103+2×103×2=8×103 (N)
3 s末汽车的速度为v=at=2×3=6 (m/s)
所以3 s末汽车的瞬时功率为P′=Fv=8×103×6=48 (kW)
（2）汽车匀加速运动的最大速度为
vmax=P/F=8×104/8×103=10 (m/s)
所以汽车匀加速运动的时间为t=vmax/a=10/2=5 (s)
（3）匀加速直线运动的位移为s=at2/2=2×52/2=25 (m)
所以匀加速直线运动中汽车牵引力做的功为
W=Fs=8×103×25=2×105 (J)
18.解：v黑=
＞c
所以R=2GM/c2=2.93 km
v宇宙=（2GM/R宇宙）1/2＞c
R宇宙=3c2/8ρπG=4.23×1010光年
19.解析：爆竹爆炸时爆竹和木块动量守恒.取向上为正方向，由动量守恒定律得：
mv+(-MV)=0 ①
(式中v、V分别是爆炸后爆竹和木块速度）
木块陷于沙中，做匀减速运动，由动能定理得：
0-
MV2=-（F-Mg）s ②
爆炸后爆竹以v做竖直上抛运动，设达到的高度为h，则：
0-v2=-2gh ③
由②得V=0.4 m/s ④
④代入①得v=20 m/s ⑤
⑤代入③得h=20 m
20.解析：摆球从开始摆动，经摆线碰到钉子，直到线松弛，摆球做圆周运动；之后做斜抛运动击中钉子.其运动路线如图所示.
设摆球运动到和钉子的连线与竖直方向的夹角为α的A点时速度为v,并开始做抛体运动而击中钉子.
摆球自静止始做圆周运动直到A点的过程中机械能守恒：
mgl=mg(l-x)(1+cosα)+mv2/2 ①
摆球运动到和钉子的连线与竖直方向的夹角为α的A点时，由向心力公式得：
mgcosα=mv2/(l-x) ②
摆球从A点开始做抛体运动，经过时间t击中钉子，则：
vtcosα=(l-x)sinα ③
vtsinα-gt2/2=-(l-x)cosα ④
③④消去t得：cosα=
/3 ⑤
⑤代入②得：v2=g(l-x)/3 ⑥
⑤⑥代入①得：x=(2-3)l=0.464l