朝阳区2002——2003年学第二学期高三综合练习（一）
数学（文史类）
2003．4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面面积，h表示高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数
的共轭复数是
（A）1+2i（B）
（C）1-2i（D）
（2）若a>b>0，集合
，
，则
表示的集合为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）函数f(x)是以π为周期的奇函数，且
，那么
等于
（A）
（B）
（C）1（D）-1
（4）设a、b、c为三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面，下面四个命题中真命题的个数是
①若α⊥β，β⊥γ，则α//β。
②若a⊥b，b⊥c，则a//c或a⊥c。
③若
，b、
，a⊥b，a⊥c，则α⊥β。
④若a⊥α，
，a//b，则α⊥β。
（A）1个（B）2个
（C）3个（D）4个
（5）已知直线
：
，
：
，在直角坐标平面上，集合
表示
（A）过和交点的直线集合
（B）过和交点的直线集合，但不包括直线
（C）平行直线的集合
（D）平行直线的集合
（6）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成
（A）sin（x-1）
（B）sin（1-x）
（C）sin（-1-x）
（D）sin（1+x）
（7）圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设椭圆的两焦点分别为（-2，1）、（2，1），两准线间的距离为13，则椭圆的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）过点（0，2）的直线l与双曲线c：
的左支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）若函数
的图象关于直线
对称，则a的值等于（）
（A）
或
（B）1或-1
（C）1或-2（D）-1或2
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）已知函数
的定义域为R，值域为
，则a的值为________________。
（12）直线ax+by+1=0被圆
截得的弦长为8，则
的值为____________________。
（13）要制造一个底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥，用一块长方形材料做它的侧面，这样的长方形的长与宽的最小值分别是_____________。
（14）抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如正比例函数
，
，
，
可抽象为
。写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填入一个函数即可）。
| 特殊函数 | 抽象函数 |
|
| |
|
| |
|
| |
|
|
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）解不等式f(x)<0。
（16）（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）将f(x)表示成cosx的整式；
（Ⅱ）若y=f(x)与y=g(x)=a(cosx+1)的图象在（0，π）内至少有一个公共点，试求a的取值范围。
（17）（本小题满分14分）
如图，AB是圆台上底面⊙
的直径，C是⊙上不同于A、B的一点，D是下底面⊙
上的一点，过D、A、C的截面垂直于下底面，M为DC的中点，AC=AD=2，∠DAC=120°，∠BDC=30°。
（Ⅰ）求证：AM⊥平面DBC；
（Ⅱ）求二面角A—DB—C的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥D—ABC的体积。
（18）（本小题满分14分）
某加油站需要制造一个容积为
的圆柱形储油罐，已知用来制作底面的铁板每平方米价格为40元，用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元，若不计制作损耗。
（Ⅰ）设储油罐底面半径为x（m），材料成本价为y（元），试用变量x表示y；
（Ⅱ）问储油罐底面半径和高各为多少时，制作的储油罐的材料成本价y最低？
（19）（本小题满分14分）
已知函数
。
（Ⅰ）求f（x）的反函数，并指出其定义域；
（Ⅱ）设数列
的前n项和为
，若对于所有大于1的自然数n都有
，且
，求数列的通项公式；
（Ⅲ）令
，求：
（20）（本小题满分14分）
已知：如图，过椭圆c：
（a>b>0）的左焦点F（-c，0）作垂直于长轴
的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线。
（Ⅰ）求证：直线
、
、l共点；
（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（-c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线、、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由。
朝阳区2002——2003学年第二学期高三综合练习（一）
数学（文史类）参考答案及评分标准
2003．4
一、选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | C | C | A | D | B | D | A | D | C |
二、填空题
| 11 | 12 | 13 | 14 |
| a=-1或a=3 |
| 12cm，9cm | 幂函数 指数函数 对数函数 正切函数f(x)=tgx |
（a>0且a≠1）
（a>0且a≠1）三、解答题
15．解：
（I）
……………………………………………………2分
解得：x>1且x≠2。
∴函数f（x）的定义域为{xx>1且x≠2}。…………………………………………4分
（Ⅱ）f(x)<0，即
。
（1）当1<x<2时，有0<x-1<1。………………………………………………6分
∴
，
。
∴原不等式显然成立，解为1<x<2。…………………………8分
（2）当x>2时，有x-1>1。………………………………………………10分
∴
，。
∴原不等式变为
。
即
解得x>3 …………………………12分
∴原不等式解集为{x1<x<2或x>3}。………………………………14分
16．（I）解：
……………………………………2分
……………………………………4分
………………………………………………6分
……………………………………8分
。……………………………………10分
（Ⅱ）解：令g(x)=f(x)
a(cosx+1)=(2cosx-1)(cosx+1)。
∵x∈（0，π），
∴cosx+1≠0。
∴a=2cosx-1。………………………………………………12分
∴
。
∴-3<a<1。
当-3<a<1时，y=f(x)与y=g(x)的图象在（0，π）内至少有一个公共点。
……………………………………………………14分
17．（I）证明：在△ADC中，AC=AD，M是DC的中点
∴AM⊥DC …………………………2分
∵平面DAC⊥平面ABC，
C为圆上异于A、B的一点，则有BC⊥AC，
∴BC⊥平面DAC，故BC⊥AM ……………………………………………………4分
∴AM⊥平面DBC。……………………6分
（Ⅱ）解：作MN⊥DB于N，连接AN，由三垂线定理可知AN⊥DB。
即
。
数列
是等差数列，公差为，
。
∴
。
即
。……………………………………8分
当n≥2时，
，
当n=1时，，满足
∴
。………………………………10分
（Ⅲ）∵
，
∴
。
………………………………………………12分
∴
。…………………………14分
20．解：（I）由方程组
解得
或
则点
，
…………………………2分
直线的方程为
，
直线的方程为
。
………………………………4分
由方程组
解得
。……………………………………6分
因为左准线l的方程为，所以直线与的交点在l上。
故直线，，l相交于一点。……………………8分
（Ⅱ）设点P、Q的坐标分别为
，
，不妨设
。
直线，的斜率分别为
、
，则
，
，
直线的方程为
，
直线的方程为
。
解得交点的横坐标为
，
即
。
……………………………………10分
直线PQ的方程为y=k(x+c)。
。
消去y得
设
，方程（*）的二根为
，
，
由韦达定理得：
，
。……………………12分
∵点P，Q在直线PQ上，
∴
，
。
∴
，
，其中
，
，
。
∴
，
因为左准线l的方程为，所以直线与的交点在l上。
故直线，，l相交于一点。……………………14分