北京市西城区2002年抽样测试
高三数学试卷（理科）
（2002．6）
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c',c分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。
1．
的值是（ ）.
A．
B.
C.
D. 
2.设 
则( ).
A. Q=P
B. 
C. 
D.P∩Q={（2，4）}
3.双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ).
A. B.3
C. 4 D. 2
4.圆
上与极点距离为的一个点的极坐标是( ).
A .( ,
) B. (,
)
C. (-,) D. (-,)
5.在△ABC中,sinA: sinB:sinC=3:2:4,则cosC的值为( ).
A.
B.
C.
D.
6.某企业2001年12月份的产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2001年年度产值的月平均增长率为（ ）。
Ａ. 
B.
C.
D.
7.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（ ）。
A. 6种 B. 8种
C. 10种 D. 12种
8.一圆锥被平行于底面的截面截成一个小圆锥和一个圆台,若小圆锥的体积为y,圆台的体积为x,则y关于x的函数图象的大致形状为( ).
9. 已知点M(cosα, sinα),N(cosβ,sinβ),若直线MN的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π，则θ等于（ ）
A．
B.
C. 
D.
10.直平行六面体
的棱长均为2,∠BAD=60°，则对角线
与侧面
所成角的正弦值为（ ）。
A.
B. 
C. 
D.
11. 设
的展开式中,奇数项的二项式系数之各为
,数列
的前n项和记为
,
则
= ( ).
A.
0 B.
C. 1 D.2
12. 已知直线m,n及平面α,其中m//n,那么在平面α内到两条直线m,n距离相等的点的集合可能是: ①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。其中正确的是（ ）
A．①②③ B.①②④
C.①④ D.②④
二. 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13.抛物线 
的焦点坐标是_________________.
14.已知圆台的母线与底面成30°角，轴截面面积为S，则圆台的侧面积为_______.
15.设有两个命题:(1)不等式x+x-1>m的解集是R;(2)函数 
是减函数.如果这两个命题中有且只且一个真命题.则实数m的取值范围是__________.
16. {}是由实数构成的无穷等比数列,
,关于数列{},给出下列命题:
①数列{}中任意一项均不为0；
②数列{}中必有一项为0；
③数列{}中或者任意一项均不为0，或者有无穷多项为0；
④数列{}中一定不可能出现
；
⑤数列{}中一定不可能出现
。
则其中正确的命题是_________.(把正确命题的序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知z∈C，（1+i）z+(1-i)
=2
（Ⅰ）求z的最小值；
（Ⅱ）若
,求z.
18.（本小题满分12分）
如图α-ι-β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°.
（Ⅰ）求三棱锥D-ABC的体积；
（Ⅱ）求二面角D-AC-B的大小；
（Ⅲ）求异面直线AB、CD所成的角.
19. (本小题满分12分)
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R（x）(万元)满足：
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律.
（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
（Ⅲ）求赢利最多时每台产品的售价.
20．（本小题满分12分）
已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t), (t∈R，是参数)
（Ⅰ）当t=-1时，解不等式f(x)≤g(x);
(Ⅱ)如果当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围.
21.（本小题满分13分）
如图，过点A（-1，0），斜率为k的直线l与抛物线
交于P，Q两点.
（Ⅰ）若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程；
（Ⅱ）设P，Q两点只在第一象限运动，（0，8）点与线段PQ中点的连线交x轴于点N，当点N在A点右侧时，求k的取值范围.
22. （本小题满分13分）
数列{}各项均为正数，为其前n项的和。对于n∈N，总有，，
成等差数列。
(Ⅰ)求数列{}的通项；
(Ⅱ)设数列
的前n项和为
，数列{}的前n项和为
，
求证：当n≥2,n∈N时，
；
(Ⅲ)若函数
的定义域为R，并且
求证：p+q>1.
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2002.6
一、 CBCBA DDCCD BB
二、（13） （
） （14）2πS （15） 1≤m＜2 (16) ③⑤
三、解答题：其他解法仿此给分
17．解：(Ⅰ)设z=a+bi (a、b∈R)
由已知得
∴
,
∴a-b=1 即a=b+1--------①,---------------3分
∵
又b∈R
∴当
时，z的最小值为. -----------6分
（Ⅱ）∵
∴
且a＞0------------9分
与①式联立，解得
，
。
即
.-----------------------12分
18解：(Ⅰ)过D向平面β做垂线，垂足为O，连结OA并延长至E.
∵AB⊥AD,OA为DA在平面β上的射影，
∴AB⊥OA，
∴∠DAE为二面角α-ι-β的平面角.
∴∠DAE=120°，∴∠DAO=60°.---------2分
∵AD=AB=2，∴
.
∵△ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2.
∴
又D到平面β的距离.
∴
-----------------4分
（Ⅱ）过O在β内作OM⊥AC，
交AC的反向延长线于M，连结DM，则AC⊥DM。
∴∠DMO为二面角D-AC-B的平面角.----------6分
又在△DOA中，OA=2cos60°=1.
且∠OAM=∠CAE=45°，∴
.
∴
.∴
-------------8分
（Ⅲ）在β平面内，过C作AB的平行线交AE于F，
∠DCF为异面直线AB、CD所成的角----------------10分
∵AB⊥AF，∴CF⊥AF
∴CF⊥DF，又∠CAE=45°，即△ACF为等腰直角三角形，
又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高，∴AF=CF=1
∴
∴
∴
∴异面直线AB，CD所成的角为
.------------------12分
19.依题意，G（x）=x+2. 设利润函数为f(x)，则
---------------------2分
（Ⅰ）要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0,
当0≤x≤5时，解不等式
.
即
,∴1<x<7,
∴1<x≤5.-------------------------------------------4分
当x＞5时，解不等式8.2-x>0，得x<8.2.
∴5<x<8.2 .----------------------------------5分
综上，要使工厂赢利，x应满足1<x<8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内。--------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）0≤x≤5时，
,
故当x=4时，f(x)有最大值3.6.---------------------------------------8分
而当x>5时，f(x)<8.2-5=3.2.
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多。-----------------------------10分
（Ⅲ）即求x=4时的每台产品的售价
此时售价为
=2.4(万元/百台)=240元/台----------------------------12分
20．解（Ⅰ）t=-1时,f(x)≤g(x) 即为lg(x+1) ≤2lg(2x-1),
----------------------------------2分
∴
∴原不等式的解集为
------------------------------------4分
（Ⅱ） x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立。
∴x∈[0,1]时,
恒成立，--------------------6分
∴x∈[0,1]时
恒成立，
即x∈[0,1]时，
恒成立，----------------------------------7分
于是转化为求
，x∈[0,1]的最大值问题.-------------------8分
令
，则
，由x∈[0,1]，知
∴
. -----------10分
当u=1 即x=0 时，有最大值1，
∴t的取值范围是t≥1.----------------------------------------------12分
21．解：(Ⅰ)由已知l:y=k(x+1),
消x得
------1分
∵直线l交C于两点P、 Q,
∴
解得-1<k<0或0<k<1---------------------------------------3分
设P（
），Q（
），M是PQ中点,
∵
,∴M点纵坐标
,
将其代入l方程,得
,------------------------------------------5分
∵PFQR是平行四边形, ∴R、F中点也是M,而F（1，0）
∴
消k得
.------------------------------------------------6分
又∵k∈(-1,0)∪(0,1) ,∴x∈(1,+∞)，
∴点R的轨迹方程为，x>1----------------------7分
（Ⅱ）∵P、Q在第一象限∴
∴k>0,结合(Ⅰ)得k∈(0,1)---------①-----------------8分
（0，8）点与PQ中点所在直线方程为
令y=0,得N点横坐标为
----------------------10分
∵N在点A 右侧∴令
得
解之得k<0或
----------②-----------------------12分
综合①②，k的取值范围是
------------------------13分
22．（I）解：由已知n∈N时，
总成立.
∴
两式作差，得
∴
∵、
均为正数
∴
∴
是公差为1的等差数列-.----------2分
又n=1时，
，得
∴
-----------------------------------3分
（Ⅱ）证明：①当n=2时，
∴n=2时，等式成立。----------------------------4 分
②假设当n=k时，等式成立，即
那么当n=k+1(k≥2)时,
--------------------------------6分
当n=k+1时，等式也成立.----------------------------------------7分
综合①②，等式成立。------------------------------8分
(Ⅲ) 证明：如果q=0，则
,
不是0，∴q≠0 ,
∵f(x)定义域为全体实数，∴
恒成立
即
恒成立
由于q≠0时，
的值域为(-∞,0),
∴p-1≥0,
又当p=1时,f(x)=1. 
,
∴p>1.--------------------------10分
∵
-----------------12分
∴
∴q>0
∴p+q>1.-------------------------------------------------13分