高三数学单元练习8数列极限数学归纳法

单元练习8　数列 极限 数学归纳法

　　2002.11　　 班级：____________；姓名：______________; 成绩：___________.

一. 选择题：(每小题4分，共4×14 = 56分)将答案填入下表中

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
A	B	B	D	C	D	C	C	C	B	D	D	A	C

　 1. 设2 ^a = 3 ,2 ^b = 6 ,2 ^c = 12 ,则数列a ,b ,c

　　　(A)是等差数列不是等比数列；　　　　  (B)是等比数列不是等差数列；

　　　(C)既是等差数列又是等比数列；　　　　(D)既不是等差数列也不是等比数列；

　 2. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n = 3ⁿ + k (k为常数) ,那么下述结论正确的是
　　　(A)k为任意实数时{a_n}为等比数列；　　 (B)k=－1时{a_n}是等比数列；
　　　(C)k=0时{a_n}是等比数列；　　　　　　　(D){a_n}不可能成为等比数列；

　 3. 已知a,b,c成等比数列，a,x,b和b,y,c都成等差数列，且xy ¹ 0 ,则的值为
　　　(A) 1　; (B) 2　; (C) 3　; (D) 4　;

　 4. 在等差数列{a_n}中，a_n =(其中p、q是非零常数)，则p ,q应满足的关系式是
　　　(A) p－q = 0　; (B) p + q = 0　; (C) p－2q = 0　; (D) p + 2q = 0　;

　 5. 若两个等差数列{a_n},{b_n}的前n项和A_n和B_n满足 (nÎN) ,则=
　　　(A) 　; (B) 　; (C) 　; (D) 　;

　 6. 等差数列{a_n}中，a₁ + a₄ + a₇  = 15 ,a₃ + a₆ + a₉ = 3 ,则该数列前9项的和等于

　　　(A) 18　; (B) 45　; (C) 36　; (D) 27　;

　 7. 等差数列{a_n}中，a₁₀ < 0 ,a₁₁ > 0 ,且 a₁₀ < a₁₁ ,S_n为其前n项之和，则

　　　(A)S₁,S₂,…,S₁₀都小于零 ,S₁₁ ,S_{12 ,}…都大于零；(B) S₁,S₂,…,S₅都小于零 ,S₆ ,S_{7 ,}…都大于零；
　　　(C) S₁,S₂,…,S₁₉都小于零 ,S₂₀ ,S_{21 ,}…都大于零；(D) S₁,S₂,…,S₂₀都小于零 ,S₂₁ ,S_{22 ,}…都大于零；

　 8. 已知数列a₁ ,a₂ ,…,a₁₀的各项均为正数，条件甲：该数列不是等比数列；条件乙：a₁ +a₁₀ < a₅ +

　　　a₆ .则乙是甲的

　　　(A)充要条件；(B)必要不充分条件；(C)充分不必要条件；(D)既不充分也不必要条件；

　 9. 在0和16间插入两个数, 使前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于

　　　(A) 8　; (B) 10　; (C) 12　; (D) 16　;

　 10. 数列{a_n}中, a₁ ,a₂,a₃成等差数列, a₂ ,a₃ ,a₄成等比数列, a₃ ,a₄ ,a₅的倒数成等差数列, 则a₁ ,a₃ ,a₅　

　　　(A)成等差数列；(B)成等比数列；(C)倒数成等差数列；(D)对数成等比数列；

　 11. 已知首项a₁为正数，公比 q < 1的无穷等比数列从第二项起各项之和不大于第一项的一半，

　　　 则公比q的范围是

　　　(A) q <　; (B) q £　; (C) q £且q ¹ 0　; (D) －1< q £且q ¹ 0　;

　 12. 等差数列{a_n}的首项a₁ =－5 ,它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平

　　　均值为4，则抽去的是

　　　(A) a₈　; (B) a₆　; (C) a₁₀　; (D) a₁₁　;

　 13. 已知1 + 2·3 + 3·3² + 4·3³ + … + n·3^n-1 = 3ⁿ (na－b) + c对一切nÎN都成立，那么a ,b ,c

　　　的值为
　　　(A) a =,b = c = ; (B)a = b = c = ; (C)a = 0,b = c = ; (D)不存在 ;

　 14. 下列极限值：À;Á a>b>0 , = ;
　　　Â (++…+)= 0 ; Ã = .其中正确的有
　　　(A) 0个　; (B) 1个　; (C) 2个　; (D) 3个　;

二. 填空题：(每小题5分，共5×7 = 35分)

　 15. 在数列{a_n}中，已知a₁ = 1 ,a₂ = 5 ,a_n+2 = a_n+1－a_n (nÎN) ,则a₂₀₀₂等于____________ .

　 16. 若{a_n}是等比数列，a₄a₇ =－512 ,a₃+a₈ = 124,且公比为整数，则a_10­ = ________________ .
　 17. 数列{a_n} ,{b_n}满足a_nb_n = 1, a_n = n² + 3n + 2，则{b_n}的前十项的和为__________________ .
　 18. 若[ 1+(r + 1)ⁿ ] = 1 ,则r的取值范围是___________________________ .

　 19. 已知数列{a_n}满足S_n = 4－a_n－2^2-n (nÎN), 则通项公式a_n =________________________ .

　 20. 若(3a_n + b_n) = 8 , (6a_n－b_n) = 1 ,则(4a_n－b_n) =_______________________ .

　 21. 无穷等比数列中，所有奇数项之和等于36，所有偶数项之和为12，则此数列从第________

　　　 项开始每一项都小于0.1 .

三. 解答题：(4小题共59分)

　 22. 设{a_n}是等差数列，a₁ = 1 ,S_n是它的前n项和，{b_n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T_n

 是它的前n项和，如果a₃ = b₂ ,S₅ =2T₂－6 ,T_n = 9 ,求{a_n} ,{b_n}的通项公式 .

　 23. 已知递增等比数列{a_n}的前三项之积为512，且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列.
　　　求证：++…+ < 1 .

　 24. 已知等差数列{a_n}的第三项a₃ = 8，其前20项的和为610. 今从该等差数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2ⁿ项，并按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，记数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n. (1). 求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；(2). 对一切自然数n，试比较2S_n与T_n的大小，并证明你的结论.

　 25. 在XOY平面上有一点列P₁ (a₁, b₁), P₂ (a₂, b₂), …, P_n (a_n, b_n), …，对每个自然数n，点P_n位于函数y = 2000()^x (0 < a < 10)的图象上，且点P_n、点(n, 0)与点(n + 1, 0)构成一个以P_n为顶点的等腰三角形. (1) 求点P_n的纵坐标b_n的表达式；(2) 若对每个自然数n，以b_n, b_n+1, b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3) 设B_n = b₁b₂…b_n (nÎN). 若a取(2)中规定的范围内的最小整数，求数列{B_n}的最大项的项数.

答案：15.-1;16. 512 ; 17. 5/12 ; 18. -2<r<0 ; 19. n/2^n-1 ; 20. -1 ; 21.7 ; 22. 提示:a_n=(n+1)/2; b_n= 6(1 /3)^n-1 ; 23. 提示：由条件推出a₂ = 8 ,q= 2 ,\a_n = 2ⁿ⁺¹ ,令S_n=1/a₁+2/a₂+…+n/a_n ,由1/2s_n=S_n-1/2S_n = 1/2² + 1/2³ +…+1/2ⁿ⁺¹－n/2ⁿ⁺² , \S_n = 1-1/2ⁿ-n/2ⁿ⁺² < 1 ; 24. 提示：(1).a_n = 3n - 1, b_n = 3×2ⁿ－1; (2). S_n = (3n²+n)/2, ∴2S_n = 3n²+n, T_n = 3×2ⁿ⁺¹－n－6, 分别计算n = 1, 2, 3时2S_n与T_n, 猜想T_n > 2S_n，用数学归纳法证明; 25. 提示：(1) a_n = n+, \b_n=2000(a/10)^n+1/2 ; (2) ∵函数y = 2000()^x (0 < a < 10)递减∴对每个自然数n有b_n>b_n+1 >　b_n+2 以b_n, b_n+1, b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2 + b_n+1 > b_n .即(a/10)² + (a/10)－1 > 0 解得5(Ö5- 1)<a<10; (3) ∵5(Ö5- 1)<a<10 ∴a =7 b_n = 2000(7/10)^n+1/2 数列{b_n}是一个递减的正数数列. 对每个自然数n > 2, B_n = b_nB_n-1. 于是当b_n > 1时, B_n > B_n-1，当b_n < 1时, B_n < B_n-1，因此，数列{B_n}的最大项的项数n满足b_n > 1且b_n+1 < 1, 由b_n = 2000(7/10)^n+1/2 > 1得n < 20.8 ∴n = 20

　 *. 在等差数列{a_n}中，若a₃+a₉+a₁₅+a₁₇ = 4 ,则a_{11 ­}的值等于______________ .　(1)

　 *. 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小的角是100°，最大的角是140°，这个多边形的

　　　 边数为________________ .　　(6)

　 *. 首项是,第10项起开始比1大的等差数列的公差的范围是__________. (8/75<d£3/25)
　 *. 数列1, (1+2), (1+2+2²), …,(1+2+2²+…+2^n-1)的前n项和的表达式为___________.(2ⁿ⁺¹-n-2)

　 *. 设f (n) = 1 +++…+,是否存在g (n)使等式f (1) + f (2) +…+ f (n－1) = g (n)·f (n)－g (n)对n ³2的一切自然数都成立?并证明你的结论 .

　　提示：若n=2时满足条件的g (n)存在，则1=g(2)(1+1/2)－g(2) , g(2) = 2 ;若n = 3时g(n)存在，则g(3) = 3 ,猜想g (n)存在且g (n) = n (n³2) .用数学归纳法证明g(n)=n时等式成立 .